10.2. 挠层

定义 10.2.0.1. 设 $X$ 是概形, 设 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 如果任何 $\mathcal{F}(U)$ 是挠群, 则称其为挠层.

命题 10.2.0.2. 若 $f:X\to Y$ 拟紧拟分离, 则若 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 是挠层, 则 $R^n{f}_{\ast }\mathcal{F}$ 也是挠层.

证明.. 注意到$$R^n{f}_{\ast }\mathcal{F}={\left(U\mapsto H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(U{\times }_{Y}X,\mathcal{F})\right)}^{♯}.$$可以取仿射 $V$ 使得 $X{\times }_{Y}V$ 是拟紧拟分离的 (因为 $f$ 是如此). 因此只需要证明若 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 是挠层且 $X$ 拟紧拟分离, 则 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X,\mathcal{F})$ 是挠群. 设 $\mathcal{F}={\bigcup }_d\mathcal{F}[d]$ 其中 $\mathcal{F}[d]$ 是 $d$-挠元的部分, 根据定理 6.5.0.2 我们有$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X,\mathcal{F})=\underset{d}{\underrightarrow{\lim }}{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X,\mathcal{F}[d]).$$而 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X,\mathcal{F}[d])$ 也是 $d$-挠群, 故成立.

$\square$

命题 10.2.0.3. 若 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 是挠层, 则 $\mathcal{F}$ 是可构建层的滤余极限.

证明.. 设 $\mathcal{F}={\bigcup }_d\mathcal{F}[d]$ 其中 $\mathcal{F}[d]$ 是 $d$-挠元的部分, 视 $\mathcal{F}[d]$ 为 $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$-模. 根据命题 10.1.0.6 即可得到结论.

$\square$

注 10.2.0.4. 若 $X$ 诺特, 任取 $E$ 在特殊化下稳定, 如果挠层 $\mathcal{F}$ 在 $E$ 上支撑, 那么其可以写为在 $E$ 上支撑的可构建层的滤余极限. 这是因为命题 10.1.0.4 知道每个 ${\mathcal{F}}_i\to \mathcal{F}$ 的像 ${\mathcal{F}}_i^{\prime }$ 均为可构建, 则 $\mathcal{F}=\underrightarrow{\lim }{\mathcal{F}}_i^{\prime }$. 其支集可构建且在 $E$ 内, 则闭包也是如此.