10.1. 可构建层

定义 10.1.0.1. 设 $X$ 是概形, 设 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 称为可构建的, 如果任取仿射开集 $U\subset X$, 存在有限分解 $U={\coprod }_i{U}_i$ 为可构建局部闭集使得 $\mathcal{F}{|}_{U_i}$ 是有限局部常值层.

注 10.1.0.2. 对 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 也同理定义, 但对一般的 $\Lambda$-模层, 需定义 $\mathcal{F}{|}_{U_i}$ 是有限型的局部常值层.

命题 10.1.0.3. 设概形 $X$ 是拟紧拟分离且 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$(或 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和 $\Lambda$-模层, 这时需假设 $\Lambda$ 诺特), 则 $\mathcal{F}$ 可构建当且仅当存在开覆盖 $X={\bigcup }_i{U}_i$ 使得 $\mathcal{F}{|}_{U_i}$ 可构建当且仅当存在分解 $X={\bigcup }_i{U}_i$ 可构建局部闭集使得 $\mathcal{F}{|}_{U_i}$ 是有限局部常值层.

证明.. 纯粹的点集拓扑和层论, 参考 Tag 095E.

$\square$

命题 10.1.0.4. (i) 设 $f:X\to Y$ 是概形映射, 令 $\mathcal{F}\mathrm{Sh}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$(或 $\mathrm{Ab}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和 $\Lambda$-模层, 其中 $\Lambda$ 诺特) 是可构建的, 则 $f^{-1}\mathcal{F}$ 也是可构建的;

(ii) 设 $X$ 是概形, 则 $\mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内的可构建层关于有限极限和余极限封闭, 若为 $\mathrm{Ab}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和 $\Lambda$-模层 (其中 $\Lambda$ 诺特), 则为弱 Serre 子范畴 (若 $X$ 诺特, 则可为强 Serre 子范畴);

(iii) 若 $X$ 拟紧拟分离, 若 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$(或 $\Lambda$-模层, 其中 $\Lambda$ 诺特) 可构建, 则 $\mathrm{supp}(\mathcal{F})$ 也可构建.

证明.. 纯粹的点集拓扑和层论, 参考 Tag 095G, Tag 03RZ,Tag 09YS 和 Tag 098H.

$\square$

引理 10.1.0.5. 设 $j:U\to X$ 是拟紧拟分离概形间的平展映射, 则

(i) 层 $h_U$ 可构建;

(ii) 对于有限 Abel 群 $M$(或 $\Lambda$-模, 其中 $\Lambda$ 诺特), 层 $j_{!}{\underline{M}}_U$ 可构建.

证明.. 运用如下结论:

$\bullet$ 事实. 若 $U\to X$ 是拟紧拟分离概形间的平展映射, 则存在有限分解 $X={\coprod }_i{X}_i$ 为可构建局部闭集使得 ${\pi }_i:X_i{\times }_{X}U\to X_i$ 是有限平展映射.(参考 Tag 03S0)

(i) 根据这个事实和命题 4.3.0.4 即可得到结论.

(ii) 运用命题 5.3.0.3(i) 和命题 5.3.0.2(iii) 可以得到$$(j_{!}{\underline{M}}_U){|}_{X_i}={\pi }_{i,!}\underline{M}={\pi }_{i,\ast }\underline{M}.$$此时 ${\pi }_i$ 有限平展, 则根据直像是平展局部的且引理 4.3.0.3(ii), 因此 ${\pi }_{i,\ast }\underline{M}$ 必然是有限局部常值.

$\square$

命题 10.1.0.6. 设概形 $X$ 拟紧拟分离. 若 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$(或 $\Lambda$-模, 其中 $\Lambda$ 诺特), 则 $\mathcal{F}$ 是可构建层的滤余极限.

证明.. 我们需要如下结论 (参考 Tag 093C):

$\bullet$ 事实 1. 任何 $\mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内的层都可以写成$$\text{Coequalizer}\left(\coprod _{j=1,...,m}{h}_{V_j}\rightrightarrows \coprod _{i=1,...,n}{h}_{U_i}\right)$$其中 $V_j,U_i$ 均为 $X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 内的拟紧拟分离元.

$\bullet$ 事实 2. 任何 ($\Lambda$ 诺特)$\Lambda$-模都可以写成$$\mathrm{coker}\left(\coprod _{j=1,...,m}{j}_{V_j,!}{\underline{\Lambda }}_{V_j}⟶\coprod _{i=1,...,n}{j}_{U_i,!}{\underline{\Lambda }}_{U_i}\right)$$其中 $V_j,U_i$ 均为 $X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 内的拟紧拟分离元.

故根据命题 10.1.0.4 和引理 10.1.0.5 即可得到.

$\square$