13.5. 光滑基变换一瞥

定理 13.5.0.1 (光滑基变换). 对概形映射 $f:X\to S$ 和挠群 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 使得挠阶数在 $S$ 内可逆. 对于纤维积其中 $S^{\prime }={\underleftarrow{\lim }}_{\lambda }{S}_{\lambda }$ 为光滑 $S$ 概形 $S_{\lambda }$ 构成的拟系统满足转移映射 $S_{{\lambda }^{\prime }}\to S_{\lambda }$ 是仿射的, 因此有典范同构$$g^{-1}{R}^i{f}_{\ast }\mathcal{F}\cong R^i{f}_{\ast }^{\prime }(g^{\prime }{)}^{-1}\mathcal{F}.$$

这个定理的证明非常之复杂, 需要用到太多的技术和技巧, 想学的读者请参考笔记 (smooth-base-change) 或者 Tag 0EYQ. 这个也对任何 $E\in D^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 满足 $H^q(E)$ 是的茎的挠系数在 $S$ 可逆的复形都成立.