13.4. 经典拓扑里的光滑基变换

定义 13.4.0.1. 我们称拓扑空间间的连续映射 $f : X \to Y$ 是光滑的, 如果对任何 $x \in X$ , 存在其开邻域同胚于 $U \times [0, 1]^{n}$ , 其中 $U$ 是 $f (x)$ 的开邻域.

定理 13.4.0.2 (拓扑的光滑基变换). 对任何 $F \in Loc (X)$ 和纤维积如果 $g$ 光滑, 则有 $g^{- 1} R^{i} f_{*} F ≅ R^{i} f_{*}^{'} (g^{'})^{- 1} F$ .

证明. 映射类似于拓扑紧合基变换, 由于高阶直像可以是上同调群的层化, 我们只需证明 $H^{i} (X \times [0, 1]^{n}, (g^{'})^{- 1} F) ≅ H^{i} (X, F) .$ 因为有同伦等价 $X \times [0, 1]^{n} ≃ X$ , 如果局部系的上同调在同伦等价下不变, 我们就得到结论.

我们只需证明若 $h_{0}, h_{1} : Y^{'} ⇉ Y$ 是同伦的映射, 那么会诱导相同的 $H^{i} (Y, \underline{A}) \to H^{i} (Y^{'}, \underline{A})$ , 其中 $\underline{A}$ 是常值 Abel 群层. 设同伦为 $F : [0, 1] \times Y^{'} \to Y$ 使得 $F ∣_{0 \times Y} = f_{0}, F ∣_{1 \times Y} = f_{1}$ . 取 $j_{t} : Y^{'} \to Y^{'} \times [0, 1]$ 为 $y^{'} \mapsto (t, y^{'})$ , 则有 $f_{0} = F \circ j_{0}, f_{1} = F \circ j_{1}$ , 因此只需证明对任何 $t \in [0, 1]$ , 映射 $j_{t}$ 都诱导相同的 $H^{i} (Y^{'} \times [0, 1], \underline{A}) \to H^{i} (Y^{'}, \underline{A})$ . 考虑 $π : [0, 1] \times Y^{'} \to Y^{'}$ 为自然投影, 则有 $π \circ j_{t} = id_{Y^{'}}$ , 因此只需要考虑 $π$ 诱导上同调群同构.

根据 Leray 谱序列有

E_{2}^{p, q} = H^{p} (Y^{'}, R^{q} π_{*} \underline{A}) \Rightarrow H^{p + q} ([0, 1] \times Y^{'}, \underline{A})

. 根据拓扑的紧合基变换 13.1.0.3 得到对任意的

y^{'} \in Y^{'}

有自然同构

R^{i} π_{*} (\underline{A})_{y^{'}} ≅ H^{i} ([0, 1], \underline{A})

. 由层上同调-奇异上同调比较定理 18.1.0.1 得知当

i > 0

时有

H^{i} ([0, 1], \underline{A}) ≅ H_{sing}^{i} ([0, 1], A) = 0.

故有典范同构

\underline{A} ≅ π_{*} \underline{A}

且当

i > 0

有

R^{i} π_{*} \underline{A} = 0

. 因此 Leray 谱序列退化, 故而所有边界映射

H^{p} (Y^{'}, π_{*} \underline{A}) \to H^{p} ([0, 1] \times Y^{'}, \underline{A})

是同构. 最后, 不难验证得到此映射即为:

H^{p} (Y^{'}, π_{*} \underline{A}) \to H^{p} ([0, 1] \times Y^{'}, π^{- 1} π_{*} \underline{A}) \to H^{p} ([0, 1] \times Y^{'}, \underline{A}),

故而因为

π^{*} \underline{A} \to π^{- 1} π_{*} \underline{A} \to \underline{A}

是单位, 故边界映射和

\underline{A} ≅ π_{*} \underline{A}

诱导的同构即为

π

诱导的映射.

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