5.3. 零扩张函子 (下叹号函子)

定义 5.3.0.1. 考虑平展映射 $j:U\to X$, 定义 $j_{!}:\mathrm{Ab}(U_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 为$$j_{!}\mathcal{F}={\left((V\mapsto X)\mapsto \underset{V\to U}{⨁}\mathcal{F}(V\to U)\right)}^{♯}.$$

命题 5.3.0.2. 对平展映射 $j:U\to X$, 有

(i) 有伴随函子 $(j_{!},j^{-1})$;

(ii) 对 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(U_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和几何点 $\bar{x}:\mathrm{Spec}k\to X$ 我们有$$(j_{!}\mathcal{F}{)}_{\bar{x}}=\underset{\bar{u}:\mathrm{Spec}k\to U,j(\bar{u})=\bar{x}}{⨁}{\mathcal{F}}_{\bar{u}},$$特别的, 函子 $j_{!}$ 正合;

(iii) 若 $j$ 有限平展, 则存在 $j_{!}\to j_{\ast }$ 使得对任何 $\mathrm{Ab}(U_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 都同构;

(iv) 若 $j$ 是开浸入, 则对 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(U_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 有 $j^{-1}{j}_{\ast }\mathcal{F}\to \mathcal{F}$ 和 $\mathcal{F}\to j^{-1}{j}_{!}\mathcal{F}$ 是同构. 事实上 $j_{!}\mathcal{F}$ 是唯一一个使得限制在 $U$ 上是 $\mathcal{F}$, 且在其他地方的茎是 $0$ 的 Abel 群层.

证明.. (i)(iv) 平凡, 略去.(iii) 只需要考虑平展局部, 用引理 4.3.0.3(ii) 即可验证.

考虑 (ii), 映射为$$\begin{array}{rl}(j_{!}\mathcal{F}{)}_{\bar{x}}& =\underset{(V,\bar{v})}{\underrightarrow{\lim }}(j_{!}\mathcal{F})(V)=\underset{(V,\bar{v})}{\underrightarrow{\lim }}\underset{\varphi :V\to U}{⨁}\mathcal{F}(\varphi )\\ & \to \underset{\bar{u}:\mathrm{Spec}k\to U,j(\bar{u})=\bar{x}}{⨁}{\mathcal{F}}_{\bar{u}}.\end{array}$$同构参考 Tag 03S5.

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命题 5.3.0.3 (基变换). (i) 设 $f:Y\to X$ 是概形映射且 $j:V\to X$ 平展, 考虑纤维积则在 $\mathrm{Ab}((-{)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和 $\Lambda$-模层都有 $j_{!}^{\prime }\circ (f^{\prime }{)}^{-1}=f^{-1}\circ j_{!}$;

(ii) 设 $f:X\to Y$ 是有限映射且 $j:V\to Y$ 开浸入, 且基变换之后 $g:U=X{\times }_{Y}V\to V$ 平展, 设 $j^{\prime }:U\to X$, 则在 $\mathrm{Ab}((-{)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内有 $f_{\ast }\circ j_{\ast }^{\prime }=j_{!}\circ g_{\ast }$.

证明.. (i) 考虑二者的右伴随函子, 然后因为直像和平展局部化交换即可得到结论;

(ii) 首先考虑 $Y$ 的不在 $U$ 内的几何点上的茎不难得知二者皆为零. 其次用命题 5.3.0.2(iv) 和命题 5.2.0.3, 得到同构$$j^{-1}{f}_{\ast }{j}_{!}^{\prime }\mathcal{F}=g_{\ast }(j^{\prime }{)}^{-1}{j}_{!}^{\prime }\mathcal{F}=g_{\ast }\mathcal{F}.$$再次用命题 5.3.0.2(iv) 即可得到结论.

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命题 5.3.0.4. 对于概形 $X$ 和闭子概形 $i:Z\to X$ 及其补 $j:U\to X$, 则对任何 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 有正合列$$0\to j_{!}{j}^{-1}\mathcal{F}\to \mathcal{F}\to i_{\ast }{i}^{-1}\mathcal{F}\to 0.$$

证明.. 分情况不难根据定义得到取茎之后正合, 然后用命题 4.4.0.1 即可.

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