25.1. 局部系和可构建层

不同于之前, 在此我们将采用如下定义:

定义 25.1.0.1. 设 $A$ 是有限环, 而 $X$ 是概形.

(a) 定义局部系为 ${\mathrm{Loc}}_A(X)$ 由满足存在平展覆盖 $X^{\prime }\to X$ 使得 ${\mathcal{E}}_{X^{\prime }}\cong {\underline{A}}^{\oplus n}$ 的平展 $A$-模 $\mathcal{E}$ 构成, 即此为平展向量丛. 定义秩 $n$ 的子范畴为 ${\mathrm{Loc}}_A^n(X)$;

(b) 可构建层 ${\mathrm{cons}}_A(X)$ 也将假设成局部闭集上是在新的 ${\mathrm{Loc}}_A(X_i)$ 内;

(c) 定义 $D_{\mathrm{cons}}^b(X,A)$ 和 $D_{\mathrm{Loc}}^b(X,A)$ 为二者的有界平展层复形的导出范畴

注 25.1.0.2. (i) 不难得到 ${\mathrm{Loc}}_A^n(X)\to \{{\mathrm{GL}}_n(A)\text{-torsor}\}$ 为$$\mathcal{E}\mapsto \mathrm{Frame}(\mathcal{E}):={\underline{\mathrm{Isom}}}_A({\underline{A}}^{\oplus n},\mathcal{E})$$是范畴等价;

(ii) 取 $\mathcal{F}\in {\mathrm{cons}}_A(X)$, 则 $\mathcal{F}\in {\mathrm{Loc}}_A(X)$ 当且仅当对任何几何点特化 $x^{\prime }⇝x$ 会诱导 ${\mathcal{F}}_{x^{\prime }}\cong {\mathcal{F}}_x$.

我们有如下常用的结论, 其中些许已经证明过了:

命题 25.1.0.3. 设 $X$ 是概形且 $A$ 是有限环.

(i) $D_{\mathrm{cons}}^b(X,A)$ 是 $D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},A)$ 内最小的三角子范畴使得其包含 $k_{!}L$ 其中 $k:Z\to X$ 局部闭且 $L\in {\mathrm{Loc}}_A(X)$;

(ii) $D_{\mathrm{cons}}^b(X,A):=\left\{K\in D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},A)|\begin{array}{rl}& \text{存在局部闭分解}X=\coprod _i{X}_i\text{使得}\\ & K{|}_{X_i}\in D_{\mathrm{Loc}}^b(X,A)\end{array}\right\};$

(iii)(Folklore) $D_{\mathrm{cons}}^b(X,A)$ 是 $D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},A)$ 内所有紧对象组成的子范畴;

(iv)(Folklore) $D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},A)$ 是紧生成的;

(v)(Gabber) 设 $f:X\to Y$ 是诺特拟优等概形间的有限型映射, 则 $f$ 有有限上同调维数且若 $\#(A)$ 在 $Y$ 内可逆, 则 $R{f}_{\ast }$ 保持 $D_{\mathrm{cons}}^b$;

(vi)(Deligne 一般基变换) 设 $f:X\to Y$ 是诺特概形间的有限型映射使得 $\#(A)$ 在 $Y$ 内可逆. 固定 $K\in D_{\mathrm{cons}}^b(X,A)$, 存在稠密开集 $U\subset Y$ 使得对所有满足 $g(Y^{\prime })\subset U$ 的纤维积都有 $g^{-1}R{f}_{\ast }K\cong R{f}_{\ast }^{\prime }(g^{\prime }{)}^{-1}K$;

(vii) 若 $f:X\to Y$ 有限, 则 $R{f}_{\ast }$ 保持可构建层;

(viii) 若 $f:X\to Y$ 有限平展且 $Y$ 连通, 则 $f_{\ast }\underline{A}\in {\mathrm{Loc}}_A(X)$;

(ix) 设 $X$ 是诺特拟优等概形, 设 $K,L\in D_{\mathrm{cons}}^b(X,A)$, 则 $R\mathcal{H}om(K,L)\in D_{\mathrm{cons}}^b(X,A)$.

证明. (i)-(viii) 证明忽略. 注意 (iii) 和 (iv) 可以参考 [1] 而 (viii) 即为光滑基变换罢了. 我们来简证 (ix). 首先我们可以约化到 $K=j_{!}\underline{A}$, 其中 $j:U\to X$ 平展. 其次注意到 (Verdier 对偶的特例): 任取另一个平展映射 $k:V\to X$, 考虑根据命题 5.3.0.3(i) 我们有$$\begin{array}{rl}& R\Gamma (V,R\mathcal{H}om(j_{!}\underline{A},L))=R\mathrm{Hom}(k^{-1}{j}_{!}\underline{A},k^{-1}L)\\ & \cong R\mathrm{Hom}(h_{!}{i}^{-1}\underline{A},k^{-1}L)=R\mathrm{Hom}(h_{!}\underline{A},k^{-1}L)\\ & \cong R\Gamma (U{\times }_{X}V,h^{-1}{k}^{-1}L)\cong R\Gamma (U{\times }_{X}V,j^{-1}L)\\ & \cong R\Gamma (V,R{j}_{\ast }{j}^{-1}L),\end{array}$$则 $R\mathcal{H}om(j_{!}\underline{A},L)\cong R{j}_{\ast }{j}^{-1}L$, 根据 (v) 得到结论.

$\square$

例 25.1.0.4. 对于椭圆曲线的 $2$-分歧覆盖 $f:E\to {\mathbb{P}}^1$ 根据 Riemann-Hurwitz 不难得到其在四个点分歧. 则 $f_{\ast }\underline{A}$ 在非分歧点处是二阶局部系, 在分歧点处是一阶局部系.