25.2. Nearby cycles 和 vanishing cycles

定义 25.2.0.1. 设 $S$ 是严格 Hensel 局部 DVR(例如 $\mathbb{C}[[t]],{\mathbb{Z}}_p$). 取闭点 $s\to S$ 和几何一般点 $t\to S$. 设 $f:X\to S$ 是有限型态射, 则考虑任取 $K\in D(X)$, 考虑典范映射 $\mathrm{can}:i^{-1}K\to i^{-1}R{\bar{j}}_{\ast }{\bar{j}}^{-1}K$.

(i) 定义 nearby cycle 函子 ${\psi }_f:D(X)\to D(X_s)$ 为 $K\mapsto i^{-1}R{\bar{j}}_{\ast }{\bar{j}}^{-1}K$;

(ii) 定义 vanishing cycle 函子 ${\varphi }_f:D(X)\to D(X_s)$ 为 $K\mapsto \mathrm{cone}(\mathrm{can})$.

命题 25.2.0.2. 设 $S$ 是严格 Hensel 局部 DVR(例如 $\mathbb{C}[[t]],{\mathbb{Z}}_p$). 取闭点 $s\to S$ 和几何一般点 $t\to S$. 设 $f:X\to S$ 是有限型态射, 则考虑任取 $K\in D(X)$, 考虑典范映射 $\mathrm{can}:i^{-1}K\to i^{-1}R{\bar{j}}_{\ast }{\bar{j}}^{-1}K$.

(i) 有好三角 $i^{-1}K\to {\psi }_f(K)\to {\varphi }_f(K)\to i^{-1}K[1]$;

(ii) 我们有 $({\psi }_{f}K{)}_{\bar{x}}=R\Gamma (\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{\bar{x}}^{\mathrm{sh}}{\times }_s\bar{t},K)$;

(iii) 若 $f$ 紧合且 ${\varphi }_{f}K=0$, 则余特化函子是同构;

(iv) 若 $f$ 光滑且 $K\in D_{\mathrm{cons}}^b(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},A)$ 且 $\#A$ 在 $S$ 内可逆, 则 ${\varphi }_{f}K=0$.

证明. (i) 平凡,(ii) 根据推论 8.0.4 得到. (iii) 根据紧合基变换我们有再根据 (i) 即可得到结论. 关于 (iv), 可以约化到 $K=\underline{A}$ 的情况. 根据光滑基变换得到$$f^{-1}R{\bar{j}}_{\ast }\underline{A}\cong R{\bar{j}}_{\ast }{f}_{\bar{t}}^{-1}\underline{A}\cong R{\bar{j}}_{\ast }\underline{A}.$$由 $i^{-1}R{\bar{j}}_{\ast }\underline{A}\cong \underline{A}$, 我们得到故得到结论.

$\square$