8. 高阶直像

基础性质

定义 8.0.1. 对概形态射 $f:X\to Y$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 因为 $f_{\ast }$ 左正合, 故可以得到高阶直像 $R^i{f}_{\ast }\mathcal{F}$.

命题 8.0.2. 对概形态射 $f:X\to Y$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 则有$$R^i{f}_{\ast }\mathcal{F}={\left(U\mapsto H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(U{\times }_{Y}X,\mathcal{F})\right)}^{♯}.$$

证明.. 定义函子 $f_{\ast }^{\mathrm{pre}}:\mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to \mathrm{PreAb}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 为 $\mathcal{P}\mapsto (U\mapsto \Gamma (U{\times }_{Y}X,\mathcal{P}))$. 考虑交换图由于 $♯,f_{\ast }^{\mathrm{pre}}$ 正合, 取内射预解 $\mathcal{F}\hookrightarrow {\mathcal{I}}^{\ast }$ 得到$$R^r{f}_{\ast }\mathcal{F}=H^i(f_{\ast }{\mathcal{I}}^{\ast })=H^r(♯\circ f_{\ast }^{\mathrm{pre}}\circ i{\mathcal{I}}^{\ast })={\left(f_{\ast }^{\mathrm{pre}}{H}^r(i{\mathcal{I}}^{\ast })\right)}^{♯}={\left(f_{\ast }^{\mathrm{pre}}{\underline{H}}^r(\mathcal{F})\right)}^{♯}$$即可.

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推论 8.0.3. 对于几何点 $\bar{y}$, 我们有$$(R^i{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{y}}=\underset{(U,\bar{u})}{\underrightarrow{\lim }}{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(U{\times }_{Y}X,\mathcal{F}).$$

推论 8.0.4. 如果 $f$ 拟紧拟分离, 我们有$$(R^i{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{y}}=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{Y,y}^{\mathrm{sh}}{\times }_{Y}X,\mathcal{F}).$$

证明.. 根据定义, 上述命题还有定理 6.5.0.2 即可得到结论 (这个在导出范畴内也对, 参考 Tag 03Q7).

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例 8.0.5. 参考 [21] 定理 12.4, 如果 $X$ 是正规整概形, 考虑一般点 $f:\eta \to X$, 则有 $(R^i{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\eta }=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(\mathrm{Spec}\mathrm{Frac}{\mathcal{O}}_{X,x}^{\mathrm{sh}}{\times }_{Y}X,\mathcal{F})$.

推论 8.0.6. 如果 $f:X\to Y$ 是有限映射, 则对 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 有对于所有 $i>0$ 有 $R^i{f}_{\ast }\mathcal{F}=0$.

证明.. 这时我们有$$(R^i{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{y}}=\underset{(U,\bar{u})}{\underrightarrow{\lim }}{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{Y,y}^{\mathrm{sh}}{\times }_{Y}X,\mathcal{F}).$$由于 $f$ 有限, 那么 $\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{Y,y}^{\mathrm{sh}}{\times }_{Y}X$ 在 $\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{Y,y}^{\mathrm{sh}}$ 上有限. 故 $\mathrm{Spec}A=\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{Y,y}^{\mathrm{sh}}{\times }_{Y}X$. 根据命题 4.2.0.10(i) 得到 $A\cong A_1\times \cdots \times A_r$ 为 Hensel 局部有限 ${\mathcal{O}}_{Y,y}^{\mathrm{sh}}$-代数. 故而 $A_i$ 也是严格 Hensel 局部环. 此时 $\mathrm{Spec}A={\coprod }_{i=1}^r\mathrm{Spec}{A}_i$, 运用定理 6.4.0.1 得到对 $i>0$ 有 $(R^i{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\bar{y}}=0$.

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Leray 谱序列

定理 8.0.7 (Leray 谱序列). 对概形态射 $f:X\to Y$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 则有谱序列$$E_2^{p,q}=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p(Y,R^q{f}_{\ast }\mathcal{F})\Rightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{p+q}(X,\mathcal{F}).$$

证明.. 注意到 $\Gamma (X,-)\circ f_{\ast }=\Gamma (Y,-)$, 由于 $f_{\ast }$ 保持内射, 根据 Grothendieck 谱序列得到$$E_2^{p,q}=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p(Y,R^q{f}_{\ast }\mathcal{F})\Rightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{p+q}(X,\mathcal{F})$$即可.

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