24.3. 相关大定理和猜想一瞥

Mordell 猜想和 Grothendieck 截面猜想

Mordell 猜想是比较著名的算术定理之一, 由 Faltings 在上世纪八十年代证明, 他断言了数域上一般型曲线一定有有限个有理点.

定理 24.3.0.1 (Mordell 猜想, Faltings 定理). 数域 $k$ 上亏格不小于 $2$ 的光滑紧合曲线 $X$ 满足有理点个数 $\#X(k)<\infty$.

猜想 24.3.0.2 (Grothendieck 截面猜想). 考虑 $\mathbb{Q}$ 的有限生成域扩张 $k$ 上的亏格不小于 $2$ 的光滑射影几何整曲线 $X$. 考虑注 2.0.4, 固定几何点 $\bar{x}$, 任取有理点 $a\in X(k)$ 会诱导 $\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)\to {\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{a})$. 取 $\gamma \in {\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X;\bar{x},\bar{a})$, 其诱导$$s_a:\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)\to {\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{a})\stackrel{{\gamma }^{-1}\cdot (-)\cdot \gamma }{⟶}{\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x}).$$这样会给出正合列 $1\to {\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X_{k^{\mathrm{sep}}},\bar{x})\to {\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})\to \mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)\to 1$ 的一个截面. 于是得知不同 $\gamma$ 的选取会相差 ${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X_{k^{\mathrm{sep}}},\bar{x})$-共轭, 因此得到$${\mathcal{S}}_{X/k}:=\{\text{该正合列的截面}\}/{\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X_{k^{\mathrm{sep}}},\bar{x})\text{-共轭}.$$其对应 $\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)$-等变的 ${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X_{k^{\mathrm{sep}}},\bar{x})$-挠子群 $H^1(\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k),{\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X_{k^{\mathrm{sep}}},\bar{x}))$. 那么这样定义的射有限 Kummer 同态$$\kappa :X(k)\to {\mathcal{S}}_{X/k}=H^1(\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k),{\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X_{k^{\mathrm{sep}}},\bar{x})),a\mapsto s_a$$是双射.

这个猜想 (截止到现在) 还没有被证明, 这是 Grothendieck 的远 Abel 几何的一部分, 而远 Abel 几何的目的就是考虑平展基本群足够不交换的时候 (比如亏格不小于 $2$), 能否用平展局部群来重构这个代数簇, 这也导致了这个方向很困难也很伟大.

$p$ 进 Hodge 理论

定理 24.3.0.3 (Faltings). 设 $K$ 是 p 进域, 对任何光滑紧合 $K$-概形 $X$ 都有在 ${\mathrm{Rep}}_{{\mathbb{C}}_K}(G_K)$ 的典范同构$${\mathbb{C}}_K{\otimes }_{{\mathbb{Q}}_p}{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X_{\overline{K}},{\mathbb{Q}}_p)\cong \underset{q}{⨁}({\mathbb{C}}_K(-q){\otimes }_K{H}^{n-q}(X,{\Omega }_{X/K}^q))$$其中 ${\mathbb{C}}_K(-q)={\mathbb{C}}_K{\otimes }_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{Q}}_p(-q),G_K=\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$.

这里只是参观一下这个 $p$ 进几何里非常著名的结论, 这事实上是复 Hodge 理论里 Hodge 分解的类比: 若 $X$ 是紧 Kähler 流形, 则有 $H^n(X,\mathbb{C})\cong {⨁}_{p+q=n}{H}^p(X,{\Omega }_X^q)$. 复的情况就是 Hodge 定理和调和形式分解的直接推论, 而 $p$ 进的情况显然要复杂很多.