6.5. 严格 Hensel 局部环的上同调

我们时常会使用严格 Hensel 局部环的谱的上同调消失的结论如下:

定理 6.5.0.1. 设 $R$ 是严格 Hensel 局部环, 设 $X=\mathrm{Spec}R$ 和闭点 $\bar{x}$. 则对任何 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 都有 $\Gamma (X,\mathcal{F})={\mathcal{F}}_{\bar{x}}$. 特别的, 函子 $\Gamma (X,-)$ 正合, 故对任何 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和 $i>0$ 都有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathcal{F})=0$.

证明.. 设平展邻域 $(U,\bar{u})$, 取 $\bar{u}$ 的的仿射邻域 $\mathrm{Spec}A$, 故 $R\to A$ 平展且 $\kappa (\bar{x})=\kappa (\bar{u})$. 由命题 4.2.0.10(ii) 得知作为 $R$-代数有 $A\cong R\times A^{\prime }$ 且和 $\kappa (\bar{x})=\kappa (\bar{u})$ 契合. 故我们有截面 $X\to \mathrm{Spec}A$. 因此平展邻域 $(X,\bar{x})$ 是共尾的, 故 $\Gamma (X,\mathcal{F})={\mathcal{F}}_{\bar{x}}$. 其他结论就平凡了.

$\square$