6.3. 点的上同调

和代数拓扑里不同, 一个点的平展上同调也是很复杂的.

引理 6.3.0.1. 设 $x=\mathrm{Spec}k$, 固定几何点 $\bar{x}=\mathrm{Spec}\Omega$. 取 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(x_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 则$$\Gamma (x,\mathcal{F})\cong ({\mathcal{F}}_{\bar{x}}{)}^{\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)}.$$

证明.. 根据命题 4.3.0.4 和命题 4.1.0.5, 我们用 Yoneda 引理有$$\Gamma (x,\mathcal{F})={\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})}(h_x,\mathcal{F})={\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)-\text{集}}(\{\ast \},{\mathcal{F}}_{\bar{x}})=({\mathcal{F}}_{\bar{x}}{)}^{\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)}$$得到结论.

$\square$

定理 6.3.0.2. 设 $x=\mathrm{Spec}k,\bar{x}=\mathrm{Spec}{k}^{\mathrm{sep}}$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(x_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 则对任意 $i\ge 0$,$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathcal{F})\cong H^i(\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k),{\mathcal{F}}_{\bar{x}}).$$

证明.. 根据引理, 我们得知 $\Gamma (x,\mathcal{F})={\Gamma }_{\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)}({\mathcal{F}}_{\bar{x}}):=({\mathcal{F}}_{\bar{x}}{)}^{\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)}$, 故我们有$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathcal{F})=R^i\Gamma (x,\mathcal{F})=R^i{\Gamma }_{\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)}({\mathcal{F}}_{\bar{x}})=H^i(\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k),{\mathcal{F}}_{\bar{x}})$$即可得到结论.

$\square$

注意到当 $x=\bar{x}$ 且当 $i>0$ 时, 就有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathcal{F})=0$, 这和几何上是一样的.