4.3. 常值层和局部常值层

定义 4.3.0.1. 给定概形 $X$.

(i) 对于 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$(或者 $\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$), 则 $\mathcal{F}$ 称为常值层如果存在集合 $E$(或者 Abel 群 $G$) 使得 $\mathcal{F}\cong (U\mapsto E{)}^{♯}=:{\underline{E}}_X$(或者 $\cong (U\mapsto G{)}^{♯}=:{\underline{G}}_X$);

(ii) 称 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$(或者 $\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$) 是局部常值层, 如果存在覆盖 $\{U_i\to X\}$ 使得 $\mathcal{F}{|}_{U_i}$ 是常值层;

(iii) 称 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$(或者 $\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$) 是有限局部常值层, 如果 $\mathcal{F}$ 是局部常值层且取值的集合 (或 Abel 群) 是有限集合.

注 4.3.0.2. 对于 (i)(ii) 可以定义一般的 $\Lambda$-模的常值层/局部常值层.

引理 4.3.0.3 (有限平展映射的平展局部分解). (i) 设 $f:X\to S$ 有限无分歧, 取 $s\in S$, 则存在平展邻域 $(U,u)\to (S,s)$ 和有限无交分解 $X_U={\coprod }_j{V}_j$ 使得所有 $V_j\to U$ 均为闭浸入.

(ii) 设 $f:X\to S$ 有限平展, 取 $s\in S$, 则存在平展邻域 $(U,u)\to (S,s)$ 和有限无交分解 $X_U={\coprod }_j{V}_j$ 使得所有 $V_j\to U$ 均为同构.

证明.. 首先, 有关各种映射的平展局部, 可参考 Tag 024J. 二者究其本质都是拟有限态射的平展局部性质 (见 Tag 02LM). 证明虽然不甚复杂, 但写于此意义也不大, 故这里我们略去证明, 证明参考 Tag 04HJ 和 Tag 04HN.

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命题 4.3.0.4. 给定概形 $X$, 则有范畴等价$$\{\text{有限平展映射}U\to X\}\cong \{\text{有限局部常值层}\},(U\to X)\mapsto \mathcal{F}=h_U.$$

证明.. 根据引理 4.3.0.3(ii), 不难看出 $h_U$ 确实是有限局部常值层. 另一方面, 任取 $\mathcal{F}$ 是有限局部常值层, 则存在平展覆盖 $\{U_i\to X\}$ 使得 $\mathcal{F}{|}_{U_i}$ 是常值层, 则可以被有限平展态射 $U_i\to X$ 表示 (设取值集合的基数是 $\kappa$, 若是诺特分离概形, 考虑注 4.2.0.2, 则令 $Z_i={\coprod }_{i=1}^{\kappa }{U}_i$, 故 $\mathcal{F}{|}_{U_i}=h_{Z_i}$). 根据仿射态射满足有效的忠实平坦下降 (fpqc), 我们可以得到存在 $Z\to X$ 使得 $h_Z\cong \mathcal{F}$. 而由于有限性和平展性都是 fpqc 局部的, 故 $Z\to X$ 仍然是有限平展映射.

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命题 4.3.0.5. 给定连通概形 $X$ 和几何点 $\bar{x}$.

(i) 存在范畴等价$$\{\text{有限局部常值层}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\}\to \{\text{有限}{\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})\text{-集}\};$$

(ii) 存在范畴等价$$\{\text{有限局部常值层}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\}\to \{\text{有限}{\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,\bar{x})\text{-模}\}.$$

证明.. (i) 根据定理 2.0.3(i) 和命题 4.3.0.4, 得到结论; (ii) 即为 (i) 赋予加法结构.

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