4.4. Abel 群预层和层构成的范畴

固定概形 $X$, 可以看出 $\mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 一定是 Abel 范畴, 它里面的正合性, 核, 余核, 积, 极限和余极限等皆为正常的定义方法. 我们主要考虑的是满子范畴 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 它是加性范畴, 我们将要证明它为 Abel 范畴 (其正合性, 核, 余核, 积, 极限和余极限等和一般拓扑空间上类似, 皆为层化).

命题 4.4.0.1. 给定概形 $X$ 和范畴 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内的列$$0\to {\mathcal{F}}^{\prime }\to \mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^{\prime \prime }\to 0,$$则下述命题等价:

(i) 列 $0\to {\mathcal{F}}^{\prime }\to \mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^{\prime \prime }\to 0$ 在 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内 (函子性的) 正合;

(ii) 列 $0\to {\mathcal{F}}^{\prime }\to \mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^{\prime \prime }\to 0$ 在 $\mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内正合且 $\mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^{\prime \prime }$ 满足对任意的 $U\in X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 和 $s\in {\mathcal{F}}^{\prime \prime }(U)$, 存在 $\{U_i\to U\}\in \mathrm{Cov}(U)$ 使得 $s{|}_{U_i}$ 在 $\mathcal{F}(U_i)\to {\mathcal{F}}^{\prime \prime }(U_i)$ 的像内;

(iii) 对所有几何点 $\bar{x}\to X$, 都有 $0\to {\mathcal{F}}_{\bar{x}}^{\prime }\to {\mathcal{F}}_{\bar{x}}\to {\mathcal{F}}_{\bar{x}}^{\prime \prime }\to 0$ 正合.

证明.. (ii) 推 (i), 平凡. (i) 推 (iii) 由于取茎是正合函子, 故也平凡.

(iii) 推 (ii), 先证明满射部分. 任取 $U\in X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 和几何点 $\bar{u}\to U$. 设 $\bar{x}:\bar{u}\to U\to X$ 也为几何点. 根据定义有 ${\mathcal{F}}_{\bar{u}}={\mathcal{F}}_{\bar{x}}$, 故 ${\mathcal{F}}_{\bar{u}}\to {\mathcal{F}}_{\bar{u}}^{\prime \prime }$ 也是满射. 再由定义知道成立. 对于其他部分, 注意到 $s\in \mathcal{F}(U)$ 为零当且仅当 $s_{\bar{u}}=0$ 即可, 这也是定义.

$\square$

推论 4.4.0.2. 给定概形 $X$, 则范畴 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 是 Abel 范畴.