9.4. 支撑在点上的上同调

命题 9.4.0.1. 设 $U$ 是代数闭域 $k$ 上的光滑曲线且 $n\in k^{\ast }$. 取闭点 $x\in U$, 则$$H_{x,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(U,{\mathbf{\mu }}_{n,U})=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}& q=2,\\ 0& q\ne 2.\end{array}$$

证明.. 由推论 6.7.0.7 得知 $H_{x,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(U,\mathcal{F})\cong H_{x,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{U,x}^{\mathrm{sh}},\mathcal{F})$. 根据定理 9.2.0.3 得到当 $i>0$ 时$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{U,x}^{\mathrm{sh}},{\mathbb{G}}_m)=0.$$再根据命题 6.7.0.5 得到正合列得到对 $i\ne 1$ 有$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{i-1}(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{U,x}^{\mathrm{sh}}\backslash \{x\},{\mathbb{G}}_m)\cong H_{x,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{U,x}^{\mathrm{sh}},{\mathbb{G}}_m).$$由于 $\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{U,x}^{\mathrm{sh}}\backslash \{x\}=\mathrm{Spec}K$, 根据引理 9.2.0.2 我们有当 $i\ge 1$ 时$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{U,x}^{\mathrm{sh}}\backslash \{x\},{\mathbb{G}}_m)=0.$$故$$H_{x,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{U,x}^{\mathrm{sh}},{\mathbb{G}}_m)=\frac{H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{U,x}^{\mathrm{sh}}\backslash \{x\},{\mathbb{G}}_m)}{H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{U,x}^{\mathrm{sh}},{\mathbb{G}}_m)}\cong \mathbb{Z},$$且当 $i\ne 1$ 时候有 $H_{x,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{U,x}^{\mathrm{sh}},{\mathbb{G}}_m)=0$. 再根据 Kummer 正合列即可得到结论.

$\square$