9.2. Gm,X 的上同调

为了计算 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,{\mathbf{\mu }}_{n,X})$, 根据 Kummer 正合列, 我们需要先计算 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,{\mathbb{G}}_{m,X})$.

定理 9.2.0.1 (基本正合列). 设 $X$ 是整正规概形, 设一般点嵌入为 $g:\eta \to X$ 和余一维点的嵌入 $i_z:z\to X$, 则有正合列:$$0\to {\mathbb{G}}_{m,X}\to g_{\ast }{\mathbb{G}}_{m,\eta }\to \underset{\mathrm{codim}(z)=1}{⨁}{i}_{z,\ast }\underline{\mathbb{Z}}.$$如果 $X$ 光滑, 则也右正合, 进而正合.

证明.. 取平展映射 $\varphi :U\to X$, 不妨设 $U=\mathrm{Spec}A$ 连通仿射. 则根据正规性, 这个列限制在 $U_{\mathrm{Zar}}$ 上正合:$$0\to A^{\ast }\to K^{\ast }\stackrel{\oplus v_{\mathfrak{p}}}{⟶}\underset{\mathrm{ht}(\mathfrak{p})=1}{⨁}\mathbb{Z}.$$故我们得到正合列$$0\to {\mathbb{G}}_{m,X}\to g_{\ast }{\mathbb{G}}_{m,\eta }\to \underset{\mathrm{codim}(z)=1}{⨁}{i}_{z,\ast }\underline{\mathbb{Z}}.$$当 $X$ 光滑, 因为此时 Weil 除子和 Cartier 除子重合, 因此局部主, 故而右正合.

$\square$

引理 9.2.0.2. 设 $k$ 是代数闭域且 $K/k$ 是超越度为 $1$ 的域扩张, 则对 $r\ge 1$ 有$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(\mathrm{Spec}K,{\mathbb{G}}_m)=0.$$

证明.. 根据定理 6.3.0.2, 只需考虑 $H^q(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K),(K^{\mathrm{sep}}{)}^{\ast })$. 再根据定理 9.1.0.6 我们只需证明对所有的有限扩张 $K^{\prime }/K$ 都有 $\mathrm{Br}(K^{\prime })=0$. 设 $K^{\prime }=\underrightarrow{\lim }{K}^{\prime \prime }$ 为在 $k$ 上超越度为 $1$ 的有限生成扩张, 故 $\mathrm{Br}(K^{\prime })=\underrightarrow{\lim }\mathrm{Br}(K^{\prime \prime })$. 于是只需考虑 $k$ 上超越度为 $1$ 的有限生成扩张. 根据 Tsen 定理 9.1.0.5, 我们得知这样的域都是 $C_1$ 的, 再根据命题 9.1.0.4 即可得到结论.

$\square$

定理 9.2.0.3. 设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的光滑射影曲线, 则$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,{\mathbb{G}}_{m,X})=\{\begin{array}{cc}\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X{)}^{\ast }& q=0,\\ \mathrm{Pic}(X)& q=1,\\ 0& q\ge 2.\end{array}$$

证明.. 根据推论 7.5.0.7, 只需要考虑 $q\ge 2$ 的情况.

$\bullet$ 步骤 1. 对任何 $q\ge 1$, 考虑一般点嵌入 $j:\eta \to X$, 则 $R^q{j}_{\ast }{\mathbb{G}}_{m,\eta }=0$.

考虑茎即可. 考虑闭点 $\bar{x}\to X$, 取仿射邻域 $\mathrm{Spec}A$, 设 $K=\mathrm{Frac}(A)$, 则$$(\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_{X,\bar{x}}^{\mathrm{sh}}){\times }_X\eta =\mathrm{Spec}({\mathcal{O}}_{X,\bar{x}}^{\mathrm{sh}}{\otimes }_{A}K),$$其中后者是 DVR 的局部化. 由于现在极大理想生成元可逆, 故$${\mathcal{O}}_{X,\bar{x}}^{\mathrm{sh}}{\otimes }_{A}K=\mathrm{Frac}({\mathcal{O}}_{X,\bar{x}}^{\mathrm{sh}})=:K_{\bar{x}}^{\mathrm{sh}}.$$因此 $(R^q{j}_{\ast }{\mathbb{G}}_{m,\eta }{)}_{\bar{x}}=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(\mathrm{Spec}{K}_{\bar{x}}^{\mathrm{sh}},{\mathbb{G}}_m)$. 根据引理 9.2.0.2 得到结论.

若一般点, 考虑几何点 $\bar{\eta }$, 则 ${\mathcal{O}}_{\bar{\eta }}^{\mathrm{sh}}=\kappa (\eta {)}^{\mathrm{sep}}$, 故$$\begin{array}{rl}(R^q{j}_{\ast }{\mathbb{G}}_{m,\eta }{)}_{\bar{\eta }}& =H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(\mathrm{Spec}(\kappa (\eta {)}^{\mathrm{sep}}){\times }_X\eta ,{\mathbb{G}}_m)\\ & =H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(\mathrm{Spec}(\kappa (\eta {)}^{\mathrm{sep}}),{\mathbb{G}}_m)\\ & =H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(\mathrm{Gal}(\kappa (\eta {)}^{\mathrm{sep}}/\kappa (\eta {)}^{\mathrm{sep}}),(\kappa (\eta {)}^{\mathrm{sep}}{)}^{\ast })=0,\end{array}$$于是步骤 1 成立.

$\bullet$ 步骤 2. 对任何 $q\ge 1$, 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,j_{\ast }{\mathbb{G}}_{m,\eta })=0$.

根据定理 8.0.7 得到$$E_2^{p,q}=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p(Y,R^q{j}_{\ast }{\mathbb{G}}_{m,\eta })\Rightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{p+q}(\eta ,{\mathbb{G}}_{m,\eta }).$$再根据引理 9.2.0.2 得到当 $p+q\ge 1$ 时有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{p+q}(\eta ,{\mathbb{G}}_{m,\eta })=0$. 取 $q=0$ 再利用步骤 1 即可得到步骤 2.

$\bullet$ 步骤 3. 对任何 $q\ge 1$ 和闭点嵌入 $i_x:x\to X$, 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q\left(X,{⨁}_{x\text{闭点}}{i}_{x,\ast }\underline{\mathbb{Z}}\right)=0$.

只需证明对闭点嵌入 $i_x:x\to X$ 和 $q>0$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,i_{x,\ast }\underline{\mathbb{Z}})=0$. 根据推论 8.0.6 和定理 8.0.7 得到 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,i_{x,\ast }\underline{\mathbb{Z}})=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(x,\underline{\mathbb{Z}})$. 由于代数闭, 步骤 3 成立.

$\bullet$ 步骤 4. 完成证明.

根据步骤 2 和步骤 3 还有正合列 9.2.0.1 即可得到结论.

$\square$