9.3. μn,X 的上同调

引理 9.3.0.1. 若概形 $X$ 在基概形 $\mathrm{Spec}A$ 上, 其中 $A$ 是严格 Hensel 局部环且 $n\in A^{\ast }$, 则 ${\mathbf{\mu }}_{n,X}\cong {\underline{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}}_X$.

证明.. 因为 ${\mathbf{\mu }}_{n,X}={\underline{\mathrm{Spec}}}_X{\mathcal{O}}_X[t]/(t^n-1)$, 由于严格 Hensal, 多项式 $t^n-1$ 会分裂. 故得到平凡的平展覆盖 ${\mathbf{\mu }}_{n,X}\to X$, 则 ${\mathbf{\mu }}_{n,X}\cong {\underline{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}}_X$(参考 [18] 命题 7.2.2).

$\square$

下面我们可以正式计算我们想要的, 读者会发现这个结果和可定向亏格 $g$ 闭曲面的奇异上同调基本相同!

定理 9.3.0.2. 设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的亏格 $g$ 光滑射影曲线, 且 $n\in k^{\ast }$, 则$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,{\mathbf{\mu }}_{n,X})=\{\begin{array}{cc}{\mathbf{\mu }}_n(k)& q=0,\\ {\mathrm{Pic}}^0(X)[n]& q=1,\\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}& q=2,\\ 0& q\ge 3.\end{array}$$根据引理 9.3.0.1 我们有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q\left(X,{\underline{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}}_X\right)=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}& q=0,\\ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\oplus 2g}& q=1,\\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}& q=2,\\ 0& q\ge 3.\end{array}$

证明.. 根据 Kummer 正合列 4.5.0.1 和定理 9.2.0.3 引出长正合列为:故而当 $q\ge 3$ 时 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,{\mathbf{\mu }}_{n,X})=0$. 只需考虑 $q=1,2$. 由于代数闭, 映射 $(-{)}^n:k^{\ast }\to k^{\ast }$ 是满射, 因此对于 $(-{)}^n:\mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(X)$, $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,{\mathbf{\mu }}_{n,X})=\ker (-{)}^n$ 且 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(X,{\mathbf{\mu }}_{n,X})=\mathrm{coker}(-{)}^n$. 考虑交换图根据 Abel 簇的知识我们知道 $[n]$ 是满射且 $\ker [n]={\mathrm{Pic}}^0(X)[n]\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\oplus 2g}$. 运用蛇引理即可得到结论.

$\square$

定理 9.3.0.3. 设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的仿射光滑曲线且 $n\in k^{\ast }$. 取光滑紧化 $X\subset X^{\prime }$, 设 $g$ 为 $X^{\prime }$ 亏格, 设 $r=\#(X^{\prime }\backslash X)$, 则$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,{\mathbf{\mu }}_{n,X})=\{\begin{array}{cc}{\mathbf{\mu }}_n(k)& q=0,\\ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\oplus 2g+r-1}& q=1,\\ 0& q\ge 2.\end{array}$$

证明.. 设 $X=X^{\prime }\backslash \{x_1,...,x_r\}$, 则 $\mathrm{Pic}(X)=\mathrm{Pic}(X)/R$ 其中 $R$ 被 ${\mathcal{O}}_{X^{\prime }}(x_i)$ 生成. 由于 $R$ 非空, 则 ${\mathrm{Pic}}^0(X^{\prime })\to \mathrm{Pic}(X)$ 是满射, 故 $\mathrm{Pic}(X)$ 可除, 因此不难得知 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(X,{\mathbf{\mu }}_{n,X})={\mathbf{\mu }}_n(k)$ 且当 $q\ge 2$ 有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,{\mathbf{\mu }}_{n,X})=0$. 只需证明 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,{\mathbf{\mu }}_{n,X})=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\oplus 2g+r-1}$.

注意到我们有$$\begin{array}{rl}& H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,{\mathbf{\mu }}_{n,X})=\{(\mathcal{L},\alpha ):\mathcal{L}\in \mathrm{Pic}(X),\alpha :{\mathcal{L}}^{\otimes n}\cong {\mathcal{O}}_X\}/\cong \\ & =\frac{\{({\mathcal{L}}^{\prime },D,{\alpha }^{\prime }):{\mathcal{L}}^{\prime }\in {\mathrm{Pic}}^0(X),\mathrm{supp}(D)\subset \{x_1,...,x_r\},{\alpha }^{\prime }:({\mathcal{L}}^{\prime }{)}^{\otimes n}\cong {\mathcal{O}}_{X^{\prime }}(D)\}}{\{({\mathcal{O}}_{X^{\prime }}(D),nD,1^{\otimes n}):\mathrm{deg}D=0,\mathrm{supp}(D)\subset \{x_1,...,x_r\}\}}.\end{array}$$则有其中 $f$ 为 $({\mathcal{L}}^{\prime },D=\sum a_i[x_i],{\alpha }^{\prime })\mapsto (a_i{)}_{i=1}^r$. 运用定理 9.3.0.2 计算秩即可.

$\square$