9.1. Brauer 群和 Cr 域一瞥

定义 9.1.0.1. 考虑所有域 $k$ 上的 (有限维) 中心单代数构成的集合 ${\mathrm{CSA}}_k$, 定义等价关系为 $A\sim B$ 当且仅当存在中心除环 $D$ 使得 $A\cong {\mathrm{Mat}}_m(D),B\cong {\mathrm{Mat}}_n(D)$. 定义 Brauer 群为 $\mathrm{Br}(k):={\mathrm{CSA}}_k/\sim$.

注 9.1.0.2. 由定义,${\mathrm{Mat}}_n(D)\sim D$.

事实上根据 Wedderburn 定理, 域 $k$ 上任何中心单代数都形如 ${\mathrm{Mat}}_n(D)$. 也就是说,$\mathrm{Br}(k)$ 给出了 $k$ 上中心除环的分类! 结合代数理论告诉我们, 如果 $A$ 是中心单代数, 那么 $A{\otimes }_k{k}^{\mathrm{sep}}\cong {\mathrm{Mat}}_n(k^{\mathrm{sep}})$(参考 Tag 0753). 也就是说, 中心除环平展局部地是局部环, 而这一点能让我们使用 Galois 下降.

此外, 我们还能在一般的概形上定义中心单代数, 也就是所谓的 Azumaya 代数. 伽罗瓦上同调告诉我们 $\mathrm{Br}(k)=H^2(\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k),(k^{\mathrm{sep}}{)}^{\ast })$, 根据定理 6.3.0.2, 我们有 $\mathrm{Br}(k)=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(\mathrm{Spec}(k),{\mathbb{G}}_m)$, 于是我们可以通过这个来定义一般概形的 Brauer 群.

定义 9.1.0.3. 域 $K$ 称之为 $C_r$ 的, 如果对任何 $0<d^r<n$ 和任何 $d$ 次齐次多项式 $f\in K[T_1,...,T_n]$, 都存在不全是零的 $\alpha =({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)\in K^n$ 使得 $f(\alpha )=0$.

命题 9.1.0.4. 若 $K$ 是 $C_1$ 的, 则 $\mathrm{Br}(K)=0$.

证明.. 不然, 考虑 $K$ 上非平凡的有限维除环 $D$, 则 $D{\otimes }_K{K}^{\mathrm{sep}}\cong {\mathrm{Mat}}_d(K^{\mathrm{sep}})$. 考虑行列式映射 $\det :D{\otimes }_K{K}^{\mathrm{sep}}\cong {\mathrm{Mat}}_d(K^{\mathrm{sep}})\to K^{\mathrm{sep}}$. 取 $\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$-不变元得到映射 $N:D\to K$. 因为 $K$ 是 $C_1$ 的, 若 $d>1$, 则存在非零 $x\in D$ 使得 $N(x)=0$. 这会推出 $x$ 不可逆, 这不可能!

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定理 9.1.0.5 (Tsen 定理). 代数闭域 $k$ 上的 $r$ 维代数簇 $X$ 的函数域 $k(X)$ 是 $C_r$ 的.

证明.. 不妨设 $X$ 射影. 取 $f\in k(X)[T_1,...,T_n{]}_d$ 使得 $0<d^r<n$. 存在丰沛除子 $H$ 使得 $f$ 的系数在 $\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X(H))$ 内. 取 $\alpha =({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)$ 且 ${\alpha }_i\in \Gamma (X,{\mathcal{O}}_X(eH))$, 故 $f(\alpha )\in \Gamma (X,{\mathcal{O}}_X((de+1)H))$. 故 $f$ 诱导映射$$F:\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X(eH){)}^{\oplus n}\to \Gamma (X,{\mathcal{O}}_X((de+1)H)).$$根据渐进 Riemann Roch 定理得到$$\{\begin{array}{l}n{\dim }_k\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X(eH))\sim Cn{e}^r;\\ {\dim }_k\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X((de+1)H))\sim C(de+1{)}^r.\end{array}$$但 $d^r<n$, 故此时 $F$ 必然有零点, 即 $f$ 必然有非平凡解.

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我们还会使用 Serre 的如下定理:

定理 9.1.0.6 (Serre). 假设对于 $K$, 若对所有的有限扩张 $K^{\prime }/K$ 都有 $\mathrm{Br}(K^{\prime })=0$, 则对所有 $q\ge 1$ 都有$$H^q(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K),(K^{\mathrm{sep}}{)}^{\ast })=0.$$

证明.. 参考 Tag 03R8.

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