18.4. 其他比较定理

定义 18.4.0.1 (代数 de Rham 上同调). 设 $f:X\to S$ 是概形映射, 考虑 de Rham 复形 ${\Omega }_{X/S}^{\ast }$ 为 ${\Omega }_{X/S}^q={\bigwedge }^q{\Omega }_{X/S}$ 且微分映射为局部定义成$$d:b_{0}d{b}_1\wedge \cdots \wedge d{b}_q\mapsto a{b}_0\wedge d{b}_1\wedge \cdots \wedge d{b}_q.$$定义 $X$ 在 $S$ 上的代数 de Rham 上同调为$$H_{\mathrm{dR}}^i(X/S):=H^i(R\Gamma (X,{\Omega }_{X/S}^{\ast })).$$

定理 18.4.0.2 (经典-代数 de Rham 比较). 若 $X$ 是 $\mathbb{C}$ 上的光滑紧合簇, 则$$H_{\mathrm{dR}}^i(X^{\mathrm{an}},\mathbb{C})\cong H_{\mathrm{dR}}^i(X/\mathbb{C}).$$

证明. 此时 $X^{\mathrm{an}}$ 是紧复流形, 根据 Poincaré 引理知有预解 $0\to \underline{\mathbb{C}}\to {\Omega }_{X^{\mathrm{an}}}^{\ast }$. 因此$$H^i(X^{\mathrm{an}},\underline{\mathbb{C}})=R^i\Gamma (X^{\mathrm{an}},{\Omega }_{X^{\mathrm{an}}}^{\ast }).$$根据 GAGA 得到$$R^i\Gamma (X^{\mathrm{an}},{\Omega }_{X^{\mathrm{an}}}^{\ast })=R^i\Gamma (X,{\Omega }_X^{\ast })=H_{\mathrm{dR}}^i(X/\mathbb{C}).$$由于再根据定理 18.1.0.2 和定理 18.1.0.1 得到$$H_{\mathrm{dR}}^i(X^{\mathrm{an}},\mathbb{C})=H_{\mathrm{sing}}^i(X^{\mathrm{an}},\mathbb{C})=H^i(X^{\mathrm{an}},\underline{\mathbb{C}})=H_{\mathrm{dR}}^i(X/\mathbb{C}),$$即可得到结论.

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