18.3. 平展-奇异比较定理

设 $(X^{\mathrm{an}}{)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 是解析空间间的局部同构构成的景, 对应意象为 $\acute{\mathrm{E}}\mathrm{t}(X^{\mathrm{an}})$. 类似于 GAGA 我们定义函子 ${\varphi }_{X,\ast }:\acute{\mathrm{E}}\mathrm{t}(X^{\mathrm{an}})\to \acute{\mathrm{E}}\mathrm{t}(X)$ 和 ${\varphi }_X^{\ast }:\acute{\mathrm{E}}\mathrm{t}(X)\to \acute{\mathrm{E}}\mathrm{t}(X^{\mathrm{an}})$ 如下.

定义 ${\varphi }_{X,\ast }:\mathcal{G}\mapsto (U^{\prime }\mapsto \mathcal{G}((U^{\prime }{)}^{\mathrm{an}}))$ 和$${\varphi }_X^{\ast }:\mathcal{F}\mapsto {\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}:={\left(U\mapsto \underrightarrow{\lim }\mathcal{F}(U^{\prime }\to X)\right)}^{♯},$$其中余极限取自如下交换图:其中 $U\to X^{\mathrm{an}}$ 平展且 $U^{\prime }\to X$ 局部同构. 不难验证有伴随性 $({\varphi }_X^{\ast },{\varphi }_{X,\ast })$ 且 ${\varphi }_X^{\ast }$ 正合.

考虑代数 $\mathbb{C}$ 概形和交换图任取 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和 $V\in X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 得到 $\mathcal{F}(V)\to {\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}(V^{\mathrm{an}})$. 对平展映射 $U\to S$ 取 $V=f^{-1}(U)$ 得到 $f_{\ast }\mathcal{F}\to {\varphi }_{S,\ast }(f_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\ast }^{\mathrm{an}}{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}})$, 根据伴随性得到 $(f_{\ast }\mathcal{F}{)}^{\mathrm{an}}\to f_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\ast }^{\mathrm{an}}{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}$. 根据 ${\varphi }_X^{\ast }$ 正合, 不难诱导$$(R{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}^{\mathrm{an}}\to R_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{f}_{\ast }^{\mathrm{an}}{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}.$$若 $f$ 分离有限型, 同理诱导$$(R{f}_{!}\mathcal{F}{)}^{\mathrm{an}}\to R_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{f}_{!}^{\mathrm{an}}{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}.$$

定理 18.3.0.1. 设 $f:X\to S$ 是代数 $\mathbb{C}$ 概形间的分离有限型映射, 则有:

(i) 对任何 $\mathcal{F}\in {\mathrm{Ab}}_{\mathrm{tor}}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 都有$$(R{f}_{!}\mathcal{F}{)}^{\mathrm{an}}\cong R_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{f}_{!}^{\mathrm{an}}{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}\cong R{f}_{!}^{\mathrm{an}}{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}};$$

(ii) 对任何 $\mathcal{F}\in {\mathrm{Ab}}_{\mathrm{cons}}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 都有$$(R{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}^{\mathrm{an}}\cong R_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{f}_{\ast }^{\mathrm{an}}{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}\cong R{f}_{\ast }^{\mathrm{an}}{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}.$$

证明. (i)(ii) 的前一个同构略去, 参考 [11]XVI.4 和 [7]I.11.6. 后一个同构是因为局部同构根据反函数定理得知存在开覆盖是其加细, 因此成立.

$\square$

推论 18.3.0.2 (平展-奇异比较定理). 对于代数 $\mathbb{C}$ 概形 $X$ 和有限 Abel 群 $G$, 我们有$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\underline{G})\cong H_{\mathrm{sing}}^i(X^{\mathrm{an}},G),H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\underline{G})\cong H_{c,\mathrm{sing}}^i(X^{\mathrm{an}},G).$$

证明. 根据定理 18.3.0.1 和定理 18.1.0.1 即可得到结论.

$\square$