15.1. 分离有限型映射的下叹号函子

我们通常需要如下紧化作为基础:

定理 15.1.0.1 (Nagata 紧化). 设概形 $S$ 拟紧拟分离且 $f:X\to S$ 分离有限型, 则存在如下分解:其中 $j$ 概形论稠密的开浸入且 $\bar{f}$ 是紧合的.

证明. 异常复杂, 现代证明见 [3].

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定义 15.1.0.2. 设 $f:X\to Y$ 分离有限型, 对 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 定义$$(f_{!}\mathcal{F})(U):=\{s\in (f_{\ast }\mathcal{F})(U):\mathrm{supp}(s)\text{mbox}在S\text{mbox}上紧合\}.$$

命题 15.1.0.3. 设 $f:X\to Y$ 分离有限型, 设 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$.

(i) 当 $f$ 还是平展的, 则 $f_{!}$ 是零扩张函子;

(ii) 若 $f$ 紧合, 则 $f_{!}\mathcal{F}=f_{\ast }\mathcal{F}$;

(iii) 取一个 Nagata 紧化 $f=\bar{f}\circ j$, 则 $f_{!}\cong {\bar{f}}_{\ast }\circ j_{!}$.

证明. (i) 这个是比较繁琐的, 首先要说明分离平展的时候零扩张可以单射到直像 (参考 Tag 0F4L), 其次要证明二者相同 (参考 Tag 0F4Y);

(ii) 是平凡的;(iii) 不难构造出单射 $f_{!}(j^{-1}{j}_{!}\mathcal{F})\to {\bar{f}}_{\ast }{j}_{!}\mathcal{F}$ (比如 Tag 0F53). 根据推论 5.3.0.2(iii), 只需说明满射即可, 但这是平凡的.

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