15.2. 紧支高阶直像

定义 15.2.0.1 (紧支高阶直像). 设概形 $S$ 拟紧拟分离且 $f:X\to S$ 分离有限型, 定义$$\begin{array}{rl}& R^q{f}_{!}:=R^q{\bar{f}}_{\ast }\circ j_{!}:{\mathrm{Ab}}_{\mathrm{tor}}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to {\mathrm{Ab}}_{\mathrm{tor}}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}),\\ & R{f}_{!}:=R{\bar{f}}_{\ast }\circ j_{!}:D_{\mathrm{tor}}^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to D_{\mathrm{tor}}^{+}(S_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}),\\ & R{f}_{!}:=R{\bar{f}}_{\ast }\circ j_{!}:D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )\to D(S_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda ),\end{array}$$其中 $f=\bar{f}\circ j$ 是 Nagata 紧化且 $\mathrm{tor}$ 指具有挠上同调的范畴且 $\Lambda$ 是挠环.

注 15.2.0.2. 下述 $D_{\mathrm{tor}}^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 均可换成 $D_{\mathrm{tor}}^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$, 其中 $\Lambda$ 是环.

命题 15.2.0.3. 设概形 $S$ 拟紧拟分离且 $f:X\to S$ 分离有限型有

(i) 紧支高阶直像 $R^{\ast }{f}_{!}$ 和 $R{f}_{!}$ 定义和 Nagata 紧化选取无关;

(ii) 设 $f^{\prime }:X^{\prime }\to X$ 也是分离有限型, 则有典范同构 $R{f}_{!}\circ R{f}_{!}^{\prime }\cong R(f\circ f^{\prime }{)}_{!}$, 故有 Leray 谱序列 $E_2^{p,q}:=R^p{f}_{!}{R}^q{f}_{!}^{\prime }\mathcal{F}\Rightarrow R^{p+q}(f\circ f^{\prime }{)}_{!}\mathcal{F}$;

(iii) 对于拟紧拟分离概形的纤维积有 $g^{-1}\circ R{f}_{!}\cong R{f}_{!}^{\prime }\circ (g^{\prime }{)}^{-1}$;

(iv) 设 $Z\to X$ 是闭子概形, 补为 $U$. 设 $f_Z:Z\to S,f_U:U\to S$ 是结构映射, 则有好三角$$R{f}_{U,!}(K{|}_U)\to R{f}_{!}K\to R{f}_{Z,!}(K{|}_Z)\to R{f}_{U,!}(K{|}_U)[1],$$其中 $K\in D_{\mathrm{tor}}^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 或 $K\in D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 其中 $\Lambda$ 是挠环. 因此有长正合列$$\cdots \to R^i{f}_{U,!}(\mathcal{F}{|}_U)\to R^i{f}_{!}\mathcal{F}\to R^i{f}_{Z,!}(\mathcal{F}{|}_Z)\to \cdots ;$$

(v) 若 $X=U\cup V$ 为拟紧开集的并, 设 $a:U\to S,b:V\to S$ 和 $c:U\cap V\to S$. 对于 $K\in D_{\mathrm{tor}}^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 或 $K\in D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 其中 $\Lambda$ 是挠环, 则有好三角$$R{c}_{!}(K{|}_{U\cap V})\to R{a}_{!}(K{|}_U)\oplus R{b}_{!}(K{|}_V)\to R{f}_{!}K\to R{c}_{!}(K{|}_{U\cap V})[1];$$

(vi) 短正合列可以诱导 $R^{\ast }{f}_{!}$ 的长正合列.

证明. (i)(ii)(iii) 颇为复杂, 我们参且略去, 参考 Tag 0F7I, Tag 0F7J 和 Tag 0F7L; (vi) 是平凡的, 只需注意到对开浸入, 下叹号正合, 然后直接引高阶直像的长正合列即可; (iv)(v) 虽然不太困难, 但我懒得写了, 大致是先对不导出的版本给出短正合列, 然后得到好三角, 见 Tag 0GKN 和 Tag 0GKP. 注意 (iv) 为 MV-序列, 而 (v) 为命题 5.3.0.4 的导出版本.

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命题 15.2.0.4. 设 $f:X\to Y$ 是拟紧拟分离概形间的分离有限型映射, 设 $\Lambda$ 是挠环.

(i) 设 $K_i\in D_{\mathrm{tor}}^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 若存在 $a$ 使得对 $n<a$ 有 $H^n(K_i)=0$, 则$$R{f}_{!}\left(\underset{i}{⨁}{K}_i\right)=\underset{i}{⨁}R{f}_{!}{K}_i;$$

(ii) 函子 $R{f}_{!}:=R{\bar{f}}_{\ast }\circ j_{!}:D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )\to D(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 和直和交换;

(iii) 若 $E\in D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 和 $K\in D(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$, 则有$$R{f}_{!}E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}K=R{f}_{!}(E{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}{f}^{-1}K).$$

证明. (i)(ii) 只需要对开浸入和紧合映射分别考虑即可. 开浸入因为是逆像的左伴随, 故一定和直和交换. 对于紧合映射, 当为挠环的模层时, 首先不难得知其纤维维数有界, 故根据命题 13.3.0.1 知道其相对上同调维数有限. (i) 是容易的, 取内射预解即可; 对 (ii) 需要取 K-内射的, 然后根据相对上同调维数有限, 运用滤余极限和导出推出交换等等, 细节略去, 参考 Tag 0F11;

(iii) 根据 Nagata 紧化分解成开浸入 $j$ 和紧合映射 $\bar{f}$, 而此投影公式对 $j$ 成立是根据取 $K$ 的 K-平坦预解和直接计算而来, 参见 Tag 0E8I. 而对 $\bar{f}$ 只需运用一般版本的命题 13.3.0.3 即可, 需要用命题 13.3.0.1 知道其相对上同调维数有限, 细节略去.

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