15.3. 紧支上同调

定义 15.3.0.1. 设 $X$ 是域 $k$ 上的分离有限型概形, 设 $\Lambda$ 是环, 取 $K\in D_{\mathrm{tor}}^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 或 $K\in D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 其中 $\Lambda$ 是挠环, 则定义$$R{\Gamma }_c(X,K):=R\Gamma (\mathrm{Spec}k,R{f}_{!}K),H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n(X,K):=H^n(R{\Gamma }_c(X,K)),$$其中 $f:X\to \mathrm{Spec}k$ 是结构映射.

命题 15.3.0.2. 设 $f:X\to Y$ 是分离有限型映射且 $Y$ 拟紧拟分离, 取 $K\in D_{\mathrm{tor}}^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 或 $K\in D(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 其中 $\Lambda$ 是挠环. 取几何点 $\bar{y}\to Y$, 我们有$$(R{f}_{!}K{)}_{\bar{y}}=R{\Gamma }_c(X_{\bar{y}},K{|}_{X_{\bar{y}}}).$$

证明. 这根据定义和命题 15.2.0.3(iii) 即可得到.

$\square$

定理 15.3.0.3 (紧支上同调维数). 设 $f:X\to S$ 是分离有限型映射且 $S$ 拟紧拟分离, 取 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 是挠层, 则对 $i>2{\sup }_{s\in S}\dim X_s$ 都有 $R^i{f}_{!}\mathcal{F}=0$. 若 $S$ 诺特, 则如果 $\mathcal{F}$ 可构建, 则 $R^i{f}_{!}\mathcal{F}$ 可构建. 特别的, 若 $S=\mathrm{Spec}k$ 是可分闭域, 则 $H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathcal{F})$ 是有限群且当 $i>2\dim X$ 时为零.

证明. 参考 [7] 第一章 8.8, 8.10.

$\square$

我们计算一个曲线的例子如下:

命题 15.3.0.4. 设 $U$ 是代数闭域 $k$ 上的亏格 $g$ 光滑连通曲线, 设 $n$ 在 $k$ 内可逆, 则$$H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^q(X,{\mathbf{\mu }}_n)=\{\begin{array}{cc}0& q=0,q>2,\\ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{2g+\#Z-1}& q=1,\\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}& q\ge 2.\end{array}$$其中 $Z$ 是紧化后多出的点.

证明. 取紧化 $X$, 设 $Z=X\backslash U$ 和 $i:Z\to X,j:U\to X$. 由命题 5.3.0.4 得到$$0\to j_{!}{j}^{-1}{\mathbf{\mu }}_n\to {\mathbf{\mu }}_n\to i_{\ast }{i}^{-1}{\mathbf{\mu }}_n\to 0.$$得到长正合列$$\cdots \to H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(U,{\mathbf{\mu }}_n)\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(X,{\mathbf{\mu }}_n)\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(Z,i^{-1}{\mathbf{\mu }}_n)\to \cdots .$$当 $r>0$ 时 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(Z,i^{-1}{\mathbf{\mu }}_n)=0$, 因此 $H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(U,{\mathbf{\mu }}_n)\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(X,{\mathbf{\mu }}_n)\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. 其余不难得出.

$\square$

注 15.3.0.5. 可假设 $k$ 可分闭域, 证明类似.