22.5. 射影曲线的 Lefschetz 数

定义 22.5.0.1. 设 $\Lambda$ 是有限环且 $X$ 是有限域 $k$ 上的射影曲线, 设 $K\in D_{\mathrm{cons}}(X,\Lambda )$.

(a) 设 $c_K:{\pi }_X^{-1}K\to K$, 则 $c_K{|}_{X_{\bar{k}}}$ 会诱导完美复形 $R\Gamma (X_{\bar{k}},K{|}_{X_{\bar{k}}})$ 上的作用 ${\pi }_X^{\ast }$, 定义整体 Lefschetz 数为 $\mathrm{Tr}({\pi }_X^{\ast }{|}_{R\Gamma (X_{\bar{k}},K{|}_{X_{\bar{k}}})})\in {\Lambda }^{♮}$;

(b) 对任何几何点 $\bar{x}$, 有完美复形 $K_{\bar{x}}$. 考虑在 $K_{\bar{x}}$ 上的作用 ${\pi }_X$, 我们定义局部 Lefschetz 数为 ${\sum }_{x\in X(k)}\mathrm{Tr}({\pi }_x{|}_{K_{\bar{x}}})\in {\Lambda }^{♮}$.

定理 22.5.0.2 (Weil 不动点定理). 设 $C$ 是代数闭域 $k$ 上的光滑射影曲线, 设 $\varphi :C\to C$ 为不是恒等映射的 $k$-自同态. 设 $J(C):={\underline{\mathrm{Pic}}}_{C/k}^0$ 是 $C$ 的 Jacobian. 设 $\varphi$ 诱导 ${\varphi }^{\ast }:J(C)\to J(C)$, 则$${\int }_{C\times C}\Delta \cdot {\Gamma }_{\varphi }=1-\mathrm{Tr}({\varphi }^{\ast })+\mathrm{deg}\varphi .$$

证明. 首先陈述一些关于光滑曲线及其 Jacobian 的事实:

考虑 $C\times C$ 的两个投影 $p_1,p_2$, 则$$\mathrm{Pic}(C\times C)=p_1^{\ast }(\mathrm{Pic}(C))\oplus p_2^{\ast }(\mathrm{Pic}(C))\oplus R,$$其中 $R=\{[Z]\in \mathrm{Pic}(C\times C):Z{|}_{C\times \{c_0\}}{\sim }_{\mathrm{rat}}0,Z{|}_{\{c_0\}\times C}{\sim }_{\mathrm{rat}}0\}$. 我们有如下典范同构:设 $\sigma \in \mathrm{Aut}(C\times C)$ 是前后对换, 则有如下对应:

$\mathrm{End}(J(C))$	$R$
$\alpha ,\beta$ 的复合	$p_{13,\ast }(p_{12}^{\ast }\alpha \circ p_{23}^{\ast }\beta )$
${\mathrm{id}}_J$	${\Delta }_C-C\times \{c_0\}-\{c_0\}\times C$
${\varphi }^{\ast }$	${\Gamma }_{\varphi }-C\times \{\varphi (c_0)\}-{\sum }_{\varphi (c)=c_0}\{c\}\times C$
迹 $\alpha ,\beta \mapsto \mathrm{Tr}(\alpha \beta )$	$\alpha ,\beta \mapsto -{\int }_{C\times C}\alpha \cdot {\sigma }^{\ast }\beta$
Rosati 对合 $\alpha \mapsto {\alpha }^{†}$	$\alpha \mapsto {\sigma }^{\ast }\alpha$
Rosati 正定 $\mathrm{Tr}(\alpha {\alpha }^{†})>0$	Hodge 指标定理 $-{\int }_{C\times C}\alpha \cdot {\sigma }^{\ast }\alpha >0$.

下面开始证明. 注意到$$\begin{array}{rl}{\int }_{C\times C}\Delta \cdot {\Gamma }_{\varphi }& ={\int }_{C\times C}{\Gamma }_{\varphi }\cdot ({\Delta }_C-C\times \{c_0\}-\{c_0\}\times C)\\ & +{\int }_{C\times C}{\Gamma }_{\varphi }\cdot (C\times \{c_0\}+\{c_0\}\times C)\\ & =1+\mathrm{deg}\varphi +{\int }_{C\times C}{\Gamma }_{\varphi }\cdot ({\Delta }_C-C\times \{c_0\}-\{c_0\}\times C).\end{array}$$且得知 $R$ 和丰沛除子 $C\times \{c_0\}+\{c_0\}\times C$ 垂直, 那么根据 Nakai-Moishezon 定理和上述对应得到$$\begin{array}{rl}& {\int }_{C\times C}{\Gamma }_{\varphi }\cdot ({\Delta }_C-C\times \{c_0\}-\{c_0\}\times C)\\ & ={\int }_{C\times C}\left({\Gamma }_{\varphi }-C\times \{\varphi (c_0)\}-\sum _{\varphi (c)=c_0}\{c\}\times C\right)\\ & \cdot ({\Delta }_C-C\times \{c_0\}-\{c_0\}\times C)=-\mathrm{Tr}({\varphi }^{\ast }\circ {\mathrm{id}}_{J(C)}).\end{array}$$因此得到结论.

$\square$