22.6. Grothendieck-Lefschetz 迹公式

定理 22.6.0.1 (Grothendieck-Lefschetz 迹公式). 设 $\Lambda$ 是有限环且 $X$ 是有限域 $k$ 上的代数簇, 设 $K\in D_{\mathrm{perf}}(X,\Lambda )$, 且 $\Lambda$ 基数在 $k$ 可逆, 则$$\mathrm{Tr}({\pi }_X^{\ast }{|}_{R{\Gamma }_c(X_{\bar{k}},K{|}_{X_{\bar{k}}})})=\sum _{x\in X(k)}\mathrm{Tr}({\pi }_x{|}_{K_{\bar{x}}})\in {\Lambda }^{♮}.$$

证明. 最终是要化归到曲线的情况. 我们只给出思路, 不给证明:

(1) 设 $X=Y\bigsqcup U$ 其中 $Y$ 是闭集而 $U$ 是其补集, 证明对 $U,Y$ 对, 则对 $X$ 也对;

(2) 设 $f:X\to S$ 是映射且对 $S$ 和 $f$ 的纤维都对, 则对 $X$ 也对.

$\square$

因此只需要证明如下曲线的情况:

定理 22.6.0.2. 设 $\Lambda$ 是有限环且 $X$ 是有限域 $k$ 上的分离有限型维数 $\le 1$ 的概形, 设 $K\in D_{\mathrm{cons}}(X,\Lambda )$, 且 $\Lambda$ 基数在 $k$ 可逆, 则$$\mathrm{Tr}({\pi }_X^{\ast }{|}_{R{\Gamma }_c(X_{\bar{k}},K{|}_{X_{\bar{k}}})})=\sum _{x\in X(k)}\mathrm{Tr}({\pi }_x{|}_{K_{\bar{x}}})\in {\Lambda }^{♮}.$$

证明. 设 $T^{\prime }(X,K):={\sum }_{x\in X(k)}\mathrm{Tr}({\pi }_x{|}_{K_{\bar{x}}})\in {\Lambda }^{♮}$ 且 $T^{\prime \prime }(X,K):=\mathrm{Tr}({\pi }_X^{\ast }{|}_{R{\Gamma }_c(X_{\bar{k}},K{|}_{X_{\bar{k}}})})$.

$\bullet$ 步骤 1. 设 $j:U\hookrightarrow X$ 开浸入且 $i:Y=X\backslash U\hookrightarrow X$ 是闭浸入, 则 $T^{\prime \prime }(X,K)=T^{\prime \prime }(U,j^{-1}K)+T^{\prime \prime }(Y,i^{-1}K)$ 且 $T^{\prime }(X,K)=T^{\prime }(U,j^{-1}K)+T^{\prime }(Y,i^{-1}K)$.

这个对 $T^{\prime }$ 是平凡的. 对 $T^{\prime \prime }$ 考虑正合列 $0\to j_{!}{j}^{-1}K\to K\to i_{\ast }{i}^{-1}K\to 0$ 给出 $K$ 的一个滤过, 于是得到 $K^{\prime }\in DF(X,\Lambda )$. 其 ${\mathrm{gr}}^i{K}^{\prime }$ 为 $j_{!}{j}^{-1}K,i_{\ast }{i}^{-1}K\in D_{\mathrm{cons}}(X,\Lambda )$, 根据滤过导出范畴不难得知 $R{\Gamma }_c(X_{\bar{k}},K)\in D{F}_{\mathrm{perf}}(\Lambda )$, 根据命题 22.4.0.6 和 $T^{\prime \prime }$ 定义即可得到结论.

$\bullet$ 步骤 2. 证明当 $\dim X=0$ 时候定理成立.

注意到此时$$R{\Gamma }_c(X_{\bar{k}},K)=R\Gamma (X_{\bar{k}},K)=\Gamma (X_{\bar{k}},K)=\underset{\bar{x}\in X_{\bar{k}}}{⨁}{K}_{\bar{x}}.$$注意到 ${\pi }_X:X_{\bar{k}}\to X_{\bar{k}}$ 的不动点为卧在有理点上的点, 故$$\mathrm{Tr}({\pi }_X^{\ast }{|}_{R{\Gamma }_c(X_{\bar{k}},K{|}_{X_{\bar{k}}})})=\sum _{x\in X(k)}\mathrm{Tr}({\pi }_x{|}_{K_{\bar{x}}}),$$因此成立.

$\bullet$ 步骤 3. 划归到只需要证明 $T^{\prime }(U,\mathcal{F})=T^{\prime \prime }(U,\mathcal{F})$, 其中 $U$ 是 $k$ 上光滑不可约仿射曲线且 $U(k)=\varnothing$, 且 $\mathcal{F}$ 是 $U$ 上的有限局部常值 $\Lambda$-模且茎为有限投射 $\Lambda$-模, 并且 $\Lambda$ 被可逆素数 $\ell$ 的某幂次零化.

由步骤 1,2, 我们可以考虑去掉任意的有限个闭点的情况. 因此我们去掉所有的有理点和所以曲线的奇点. 而 $\Lambda$ 是根据其准素分解而来.

现在考虑其中 $f:V\to U$ 有限平展 Galois 覆叠, 且水平的映射为射影完备化. 考虑 $G:=\mathrm{Gal}(V/U)$, 假设 $f^{-1}\mathcal{F}=\underline{M}$, 其中 $M=\Gamma (V,f^{-1}\mathcal{F})$ 为 $\Lambda [G]$-模, 且在 $\Lambda$ 上有限投射.

$\bullet$ 步骤 4. 对于自然的 $G$ 作用在 $f_{\ast }{f}^{-1}\mathcal{F}$ 且迹映射 $f_{\ast }{f}^{-1}\mathcal{F}\to \mathcal{F}$ 诱导同构$$(f_{\ast }{f}^{-1}\mathcal{F}){\otimes }_{\Lambda [G]}\Lambda =(f_{\ast }{f}^{-1}\mathcal{F}{)}_G\cong \mathcal{F}.$$

$\bullet$ 步骤 5. 对 $n\gg 0$, 设 $A=\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}$, 有 $f_{\ast }{f}^{-1}\mathcal{F}\cong (f_{\ast }\underline{A}){\otimes }_{\underline{A}}\underline{M}$ 和对角 $G$-作用.

$\bullet$ 步骤 6. 有典范同构 $((f_{\ast }\underline{A}){\otimes }_{\underline{A}}\underline{M}){\otimes }_{\Lambda [G]}\Lambda \cong \mathcal{F}$.

$\bullet$ 步骤 7. 有和 ${\pi }_U^{\ast }$ 作用契合的典范同构$$R{\Gamma }_c(U_{\bar{k}},\mathcal{F})=(R{\Gamma }_c(U_{\bar{k}},f_{\ast }\underline{A}){\otimes }_A^{\mathbb{L}}M){\otimes }_{\Lambda [G]}^{\mathbb{L}}\Lambda .$$

$\bullet$ 步骤 8. 只需证明 ${\mathrm{Tr}}_A^{Z_g}((g,{\pi }_U^{\ast }){|}_{R{\Gamma }_c(U_{\bar{k}},f_{\ast }\underline{A})})\in A$ 映射到 $\Lambda$ 是 $0$ 其中 $g\in G$.

$\bullet$ 步骤 9. 只需证明在 $A$ 内我们有 ${\mathrm{Tr}}_A((g^{-1}{\pi }_V{)}^{\ast }{|}_{R{\Gamma }_c(V_{\bar{k}},A)})=0$.

步骤 4–6 是直接的, 而步骤 7–9 需要一些古怪的代数结论, 我们略去, 更多细节参考 Tag 03U4 和 Tag 03UF, 或者 Conrad 讨论班笔记 L20.

$\bullet$ 步骤 10. 证明在 $A$ 内我们有 ${\mathrm{Tr}}_A((g^{-1}{\pi }_V{)}^{\ast }{|}_{R{\Gamma }_c(V_{\bar{k}},A)})=0$.

根据加性我们有$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Tr}}_A((g^{-1}{\pi }_V{)}^{\ast }{|}_{R{\Gamma }_c(V_{\bar{k}},A)})+{\mathrm{Tr}}_A((g^{-1}{\pi }_Y{)}^{\ast }{|}_{R{\Gamma }_c((Y\backslash V{)}_{\bar{k}},A)})\\ & ={\mathrm{Tr}}_A((g^{-1}{\pi }_Y{)}^{\ast }{|}_{R{\Gamma }_c(Y_{\bar{k}},A)}).\end{array}$$后者根据 Weil 不动点定理 22.5.0.2 知为 $g^{-1}{\pi }_Y$ 在 $Y_{\bar{k}}$ 的不动点; 而根据步骤 2 得知 ${\mathrm{Tr}}_A((g^{-1}{\pi }_Y{)}^{\ast }{|}_{R{\Gamma }_c((Y\backslash V{)}_{\bar{k}},A)})$ 是 $g^{-1}{\pi }_Y$ 在 $(Y\backslash V{)}_{\bar{k}}$ 的不动点. 因此我们要求的$${\mathrm{Tr}}_A((g^{-1}{\pi }_V{)}^{\ast }{|}_{R{\Gamma }_c(V_{\bar{k}},A)})$$即为 $g^{-1}{\pi }_Y$ 在 $V_{\bar{k}}$ 的不动点. 这根据 $U$ 无有理点即可得到是 $0$.

$\square$