22.4. 完美复形和迹

设 $\Lambda$ 是可能不交换的环, 设 ${\mathrm{Mod}}_{\Lambda }$ 是左 $\Lambda$-模范畴, 设 $K(\Lambda )$ 和 $D(\Lambda )$ 分别是其同伦范畴和导出范畴.

定义 22.4.0.1. 设 $K_{\mathrm{perf}}(\Lambda )$ 是对象为有限投射 $\Lambda$-模构成的有界复形, 对象为复形映射商去同伦等价的范畴. 故函子 $K_{\mathrm{perf}}(\Lambda )\to D(\Lambda )$ 是满忠实的, 设 $D_{\mathrm{perf}}(\Lambda )$ 是其像. 我们称 $D(\Lambda )$ 内元素是完美的, 如果它在 $D_{\mathrm{perf}}(\Lambda )$ 里面.

命题 22.4.0.2 (完美复形的性质). (i) 若 $\Lambda$ 左诺特的, 则 $K\in D(\Lambda )$ 完美当且仅当其有限 $\mathrm{Tor}$-维数且同调群皆为有限 $\Lambda$-模;

(ii) 设 $X$ 是域 $k$ 上的射影曲线, 取 $\Lambda$ 有限且 $K\in D_{\mathrm{cons}}(X,\Lambda )$, 则$$R\Gamma (X_{\bar{k}},K)\in D_{\mathrm{perf}}(\Lambda ).$$

证明. (i) 见 Tag 0658.

(ii) 就是验证 (i) 里面的条件. 事实上同调群皆为有限 $\Lambda$-模很简单: 考虑谱序列$$H^i(X_{\bar{k}},{\underline{H}}^j(K))\Rightarrow H^{i+j}(R\Gamma (X_{\bar{k}},K)),$$根据上同调维数的结论得知其为有界复形, 再根据定理 11.2.0.1 知道前者皆为有限, 故而后者也是如此. 考虑 $\mathrm{Tor}$-维数, 由投影公式和相同的谱序列即可证明.

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注 22.4.0.3. 我们称 $K\in D(\Lambda )$ 有有限 $\mathrm{Tor}$-维数, 如果存在 $a,b\in \mathbb{Z}$ 使得对任何右 $\Lambda$-模 $N$ 使得对任何 $i\notin [a,b]$ 都有 $H^i(N{\otimes }_{\Lambda }^{\mathbb{L}}K)=0$.

命题 22.4.0.4. 设 $K\in D_{\mathrm{perf}}(\Lambda )$ 且 $f\in {\mathrm{End}}_{D(\Lambda )}(K)$, 则 $\mathrm{Tr}(f)\in {\Lambda }^{♮}$ 良定义.

证明. 任取有限投射复形 $P^{\ast }$ 使得存在导出范畴内的同构 $\alpha :P^{\ast }\to K$, 则 ${\alpha }^{-1}\circ f\circ \alpha$ 对应 $f^{\ast }:P^{\ast }\to P^{\ast }$ 在同伦意义下良定. 设$$\mathrm{Tr}(f)=\sum _i(-1{)}^i\mathrm{Tr}(f^i:P^i\to P^i)\in {\Lambda }^{♮}.$$需要验证这个定义不依赖于 $f^{\ast }$ 的选取, 且不依赖于 $P^{\ast },\alpha$ 的选取. 这是纯粹的计算验证, 我们略去, 参考 Tag 03TI.

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下面考虑滤过的情况.

定义 22.4.0.5. 称 $(M,F)\in {\mathrm{Fil}}^f({\mathrm{Mod}}_{\Lambda })$ 为滤过有限投射的如果对所有的 $p$ 都有 ${\mathrm{gr}}_F^p(M)$ 有限投射. 考虑同伦范畴 $K{F}_{\mathrm{perf}}(\Lambda )$ 为 ${\mathrm{Fil}}^f({\mathrm{Mod}}_{\Lambda })$ 内滤过投射对象构成的有界复形范畴, 我们有其中满忠实性和之前类似, 得到 $D{F}_{\mathrm{perf}}(\Lambda )$.

命题 22.4.0.6. 设 $K\in D{F}_{\mathrm{perf}}(\Lambda )$ 且 $f\in {\mathrm{End}}_{DF}(K)$, 则$$\mathrm{Tr}(f{|}_K)=\sum _{p\in \mathbb{Z}}\mathrm{Tr}(f{|}_{{\mathrm{gr}}^{p}K}).$$

证明. 略去.

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