22.3. 滤过导出范畴

关于滤过导出范畴的细节参考 Tag 05QI 的有关章节.

定义 22.3.0.1. 设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴.

(i) 设 $\mathrm{Fil}(\mathcal{A})$ 为 $\mathcal{A}$ 内滤过元 $(A,F)$ 构成的 (加性) 范畴, 其中 $F$ 代表滤过$$A\supset \cdots \supset F^{n}A\supset F^{n+1}A\supset \cdots 0;$$

(ii) 定义 ${\mathrm{Fil}}^f(\mathcal{A})$ 是 $\mathrm{Fil}(\mathcal{A})$ 的包含有限滤过的满子 (加性) 范畴;

(iii) 我们称 $I\in {\mathrm{Fil}}^f(\mathcal{A})$ 是内射的 (投射的), 如果对所有 $p$, 对象$${\mathrm{gr}}^{p}I={\mathrm{gr}}_F^{p}I=F^{p}I/F^{p+1}I$$在 $\mathcal{A}$ 内是内射 (投射) 的;

(iv) 有复形范畴 $\mathrm{Comp}({\mathrm{Fil}}^f(\mathcal{A}))\supset {\mathrm{Comp}}^{+}({\mathrm{Fil}}^f(\mathcal{A}))$ 和同伦范畴 $K({\mathrm{Fil}}^f(\mathcal{A}))\supset K^{+}({\mathrm{Fil}}^f(\mathcal{A}))$;

(v) 在 $\mathrm{Comp}({\mathrm{Fil}}^f(\mathcal{A}))$ 内的映射 $\alpha :K^{\ast }\to L^{\ast }$ 称之为拟同构, 如果对所有 $p$ 都有 ${\mathrm{gr}}^p(\alpha )$ 是拟同构;

(vi) 定义 $DF(\mathcal{A})$ 和 $D{F}^{+}(\mathcal{A})$ 是 $K({\mathrm{Fil}}^f(\mathcal{A}))$ 和 $K^{+}({\mathrm{Fil}}^f(\mathcal{A}))$ 逆转所有拟同构.

注 22.3.0.2. 若 $\mathcal{A}$ 足够内射, 则设 $\mathcal{I}$ 是 ${\mathrm{Fil}}^f(\mathcal{A})$ 包含内射元的满子范畴, 则有 $D{F}^{+}(\mathcal{A})\cong K^{+}(\mathcal{I})$; 若 $\mathcal{A}$ 足够投射, 则设 $\mathcal{P}$ 是 ${\mathrm{Fil}}^f(\mathcal{A})$ 包含投射元的满子范畴, 则有 $D{F}^{-}(\mathcal{A})\cong K^{-}(\mathcal{P})$.

定义 22.3.0.3. (i) 设 $T:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 是左正合函子且 $\mathcal{A}$ 足够内射, 定义$$RT:D{F}^{+}(\mathcal{A})\to D{F}^{+}(\mathcal{B})$$使得如下图交换 (注 22.3.0.2):称之为滤过右导出函子;

(ii) 设 $T:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 是右正合函子且 $\mathcal{A}$ 足够投射, 定义$$LT:D{F}^{-}(\mathcal{A})\to D{F}^{-}(\mathcal{B})$$使得如下图交换 (注 22.3.0.2):称之为滤过左导出函子.

命题 22.3.0.4. 在上述情况下, 有交换图:

证明. 忽略.

$\square$

注 22.3.0.5. 对 $K^{\ast }\in D{F}^{+}(\mathcal{B})$, 有谱序列$$E_1^{p,q}=H^{p+q}({\mathrm{gr}}^p{K}^{\ast })\Rightarrow H^{p+q}(\mathrm{ForgetFilt}(K^{\ast })).$$