22.2. 非交换环上的迹

我们在此阐述如果定义非交换环上的模的自同态的迹. 固定基数和 $p$ 互素的有限环 $\Lambda$, 则定义 ${\Lambda }^{♮}=\Lambda /(ab-ba,...)$. 此时 ${\Lambda }^{♮}$ 不见得是环.

例 22.2.0.1. 设 $G$ 是有限群, 考虑环 $(\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z})[G]$, 有$$(\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z})[G{]}^{♮}=\underset{G\text{的共轭类}}{⨁}\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}.$$

定义 22.2.0.2. (i) 对自由模 ${\Lambda }^{\oplus m}$, 定义 $\mathrm{Tr}:{\mathrm{End}}_{\Lambda }({\Lambda }^{\oplus m})\to {\Lambda }^{♮}$ 为矩阵对角线之和;

(ii) 对有限投射 $\Lambda$-模 $P$ 和其自同态 $\varphi$, 考虑 $P$ 是自由模的直和项, 也就是说有$$P\stackrel{a}{⟶}{\Lambda }^{\oplus n}\stackrel{b}{⟶}P$$满足 $b\circ a={\mathrm{id}}_P$ 且 ${\Lambda }^{\oplus n}=\mathrm{Im}(a)\oplus \ker (b)$. 定义 $\mathrm{Tr}(\varphi )=\mathrm{Tr}(a\varphi b)$.