22.1. Frobenius 映射

引理 22.1.0.1. 设 $X$ 是概形且 $g:X\to X$ 是自同态, 若对所有的平展映射 $\varphi :U\to X$ 都存在关于 $U$ 有函子性的同构则 $g$ 诱导对所有层所有平展上同调的单位映射 (identity).

证明. 这就是定义而已, 平凡.

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定理 22.1.0.2 (Baffling 定理). 设 $X$ 是特征 $p$ 域上的概形, 绝对 Frobenius 映射 $F_X$ 诱导所有上同调的平凡同构 (identity).

证明. 由引理 22.1.0.1 知只需验证上述引理的条件. 对于下图不难得到 $f$ 平展且万有同胚, 故同构.

$\square$

定义 22.1.0.3. 设 $k={\mathbb{F}}_q$ 其中 $q=p^f$, 其中 $p=\mathrm{char}(k)$, 对 $k$ 上的概形 $X$ 定义几何 Frobenius 映射 ${\pi }_X:X\to X$ 即为 $F_X^f$. 基变换到 $\bar{k}$ 时也写作 ${\pi }_X$.

引理 22.1.0.4. 设 $\mathcal{F}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 我们有典范同构 ${\pi }_X^{-1}\mathcal{F}\cong \mathcal{F}$ 和 $\mathcal{F}\cong {\pi }_{X,\ast }\mathcal{F}$.

证明. 类似上述定理的证明以及定义即可证明.

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下面假设 $k={\mathbb{F}}_q$ 其中 $q=p^f$, 其中 $p=\mathrm{char}(k)$ 和代数闭包 $\bar{k}$ 及绝对 Galois 群 $G_k:=\mathrm{Gal}(\bar{k}/k)$. 考虑 $k$ 上有限型概形 $X$. 设 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 任取 $\sigma \in G_k$, 考虑交换图任取 $\xi \in H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(X_{\bar{k}},\mathcal{F}{|}_{X_{\bar{k}}})$, 定义作用为$$\sigma \cdot \xi =(\mathrm{Spec}\sigma \times {\mathrm{id}}_X{)}^{\ast }\xi \in H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(X_{\bar{k}},(\mathrm{Spec}\sigma \times {\mathrm{id}}_X{)}^{-1}\mathcal{F}{|}_{X_{\bar{k}}}).$$根据交换性得到 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(X_{\bar{k}},(\mathrm{Spec}\sigma \times {\mathrm{id}}_X{)}^{-1}\mathcal{F}{|}_{X_{\bar{k}}})=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(X_{\bar{k}},\mathcal{F}{|}_{X_{\bar{k}}})$, 因此后者被赋予了左 $G_k$-模结构.

引理 22.1.0.5. 在上述情况下, 设 $\alpha :X\to \mathrm{Spec}k$ 是结构映射, 注意到 $(R^j{\alpha }_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\mathrm{Spec}\bar{k}}$ 由自然的 $G_k$ 作用, 根据推论 8.0.4 得到 $(R^j{\alpha }_{\ast }\mathcal{F}{)}_{\mathrm{Spec}\bar{k}}\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(X_{\bar{k}},\mathcal{F}{|}_{X_{\bar{k}}})$. 则此同构也是 $G_k$ 模同构.(对挠层和 $(R^j{\alpha }_{!}\mathcal{F}{)}_{\mathrm{Spec}\bar{k}}$ 及 $H_{c,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(X_{\bar{k}},\mathcal{F}{|}_{X_{\bar{k}}})$ 也对)

证明. 平凡, 自行验证.

$\square$

定义 22.1.0.6. 定义算术 Frobenius 映射为 $G_k$ 内的 ${\mathrm{frob}}_k:\bar{k}\to \bar{k},x\mapsto x^q$.

定理 22.1.0.7. 设 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 则对任何 $j\ge 0$, 映射 ${\mathrm{frob}}_k$ 在 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(X_{\bar{k}},\mathcal{F}{|}_{X_{\bar{k}}})$ 的作用和下述作用 ${\pi }_X^{\ast }$ 的逆相同:$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(X_{\bar{k}},\mathcal{F}{|}_{X_{\bar{k}}})\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(X_{\bar{k}},({\pi }_X^{-1}\mathcal{F}){|}_{X_{\bar{k}}})\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j(X_{\bar{k}},\mathcal{F}{|}_{X_{\bar{k}}})$$其中最后一个等号因为 ${\pi }_X^{-1}\mathcal{F}\cong \mathcal{F}$.

证明. 注意到 $X_{\bar{k}}\stackrel{\mathrm{Spec}{\mathrm{frob}}_k}{⟶}{X}_{\bar{k}}\stackrel{{\pi }_X}{⟶}{X}_{\bar{k}}$ 复合即为 $F_{X_{\bar{k}}}^f$, 故根据 Baffling 定理 22.1.0.2 即可.

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定义 22.1.0.8. 设 $x\in X(k)$ 和相应几何点 $\bar{x}:\mathrm{Spec}\bar{k}\to X$, 考虑 ${\mathrm{frob}}_k^{-1}$ 作用为 ${\pi }_x:{\mathcal{F}}_{\bar{x}}\to {\mathcal{F}}_{\bar{x}}$, 我们还称之为几何 Frobenius.