6. 仿微分算子方法

我们已经讨论过求解方程 (3.2) 的困难所在了. Nash-Moser/KAM 迭代是以繁难而出名的解析技巧. 很长一段时间以来, 人们都认为这对于 (3.2) 是不可避免的. 然而, 令人惊讶的是, 仿微分算子 (paradifferential operators) 可以给出上述问题的一个非常优美的解答. 通过所谓的仿线性化 (paralinearization) 操作, 我们可以用标准的不动点方法来处理方程.

仿微分演算方法的优点, 就是在保持微分算子演算的全部代数结构的同时, 精确地追踪问题的正则性缺失. 历史上, John-Michel Bony 正是因为注意到了传统的拟微分算子方法难以处理低正则性的非线性偏微分方程, 才发展出了仿微分演算.

那么, 何为仿微分算子? 粗略地说, 它是通常的拟微分算子 (pseudodifferential operator) 的某种 " 低正则性推广 ". 在通常的定义中, 拟微分算子的象征是光滑的, 例如乘积算子 $M_a:u\to au$, 其中 $a$ 的各阶导数都有界. 实际上, 为了保证 $M_a$ 能够在各阶 Sobolev 空间上均保持有界, $a$ 必须得是光滑的. 显然这要求太苛刻, 极大地限制了拟微分算子处理低正则性问题的可能性. 仿微分算子正是这个方向上的推广.

6.1Littlewood-Paley 分解

为了能够定义仿微分算子, 首先需要定义一些频率空间的分解. 为了确定起见, 这里的讨论都限制在环面 ${\mathbb{T}}^n={\mathbb{R}}^n/2\pi {\mathbb{Z}}^n$ 上, 从而任何一个函数都可以展开成 Fourier 级数:$$u(x)=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}\hat{u}(k)e^{ikx}.$$

现在来固定一种分解频率空间的方式. 固定一个截断函数 $\varphi \in C_0^{\infty }$, 使得在 $|\xi |\le 1/2$ 时 $\varphi (\xi )=1$, $|\xi |\ge 1$ 时 $\varphi (\xi )=0$. 接下来, 定义 ${\varphi }_j(\xi ):=\varphi (\xi /2^j)$, 以及 ${\psi }_j={\varphi }_j-{\varphi }_{j-1}$. 于是有单位分解$$1={\varphi }_0(\xi )+\sum _{j=1}^{\infty }{\psi }_j(\xi ).$$从这个单位分解出发, 就可以定义一个函数的 Littlewood-Paley 分解: $$u={\Delta }_{0}u+\sum _{j\ge 1}{\Delta }_{j}u,\text{其中}{\Delta }_{j}u=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}{\psi }_j(k)\hat{u}(k)e^{ikx},j\ge 1,$$而另写 ${\Delta }_{0}u=\hat{u}(0)$. 另外还定义光滑化算子$$S_{j}u:=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}{\varphi }_j(k)\hat{u}(k)e^{ikx}.$$粗略地说, 这是一个 " 光滑截断 " 的部分和算子, 它比起 " 暴力截断 " 的部分和算子有诸多好处, 例如后者是与 Dirichlet 核的卷积, 而前者则是与光滑得多的核的卷积.

这样一来, 函数 $u$ 就被分解成了一系列三角多项式 ${\Delta }_{j}u$ 的和, 而序列 $S_{j}u$ 收敛到 $u$ 的速度就反映了 $u$ 本身的 " 品质 ", 即正则性. Littlewood-Paley 理论的内容, 就是研究序列 $S_{j}u$ 的收敛速度同 $u$ 的正则性之间的关系. 例如, Sobolev 空间的范数可等价地写为$$\Vert u{\Vert }_{H^s}^2{\simeq }_s\sum _{j=0}^{\infty }{2}^{2js}\Vert {\Delta }_{j}u{\Vert }_{L^2}^2.$$

对于仿微分演算来说, 特别重要的范数是 Zygmund 范数: 对于 $r\in \mathbb{R}$, 定义$$|u{|}_{C_{\ast }^r}:=\underset{j\ge 0}{\sup }{2}^{jr}|{\Delta }_{j}u{|}_{L^{\infty }}.$$通过对级数的简单操作, 可得 Sobolev 嵌入定理 $H^s\subset C_{\ast }^{s-n/2}$. 如果 $r$ 是非整数的正实数, 那么这个范数等价于 Hölder 空间 $C^r$ 的范数, 即$$|u{|}_{C^{[r]}}+\sum _{|\alpha |=[r]}\underset{x,y\in {\mathbb{T}}^n}{\sup }\frac{|{\partial }^{\alpha }u(x)-{\partial }^{\alpha }u(y)|}{|x-y{|}^{r-[r]}}.$$但是, 当 $r$ 是正整数时, $C_{\ast }^r$ 严格地比经典的连续可微函数空间 $C^r$ 更大. 总的来说, 除了这少部分个别情形, 范数 $|\cdot {|}_{C_{\ast }^r}$ 给出了 Hölder 空间的相当方便的刻画.

6.2仿积与仿线性化

定义 6.2.1. 对于 $a\in L^{\infty }({\mathbb{T}}^n)$, 定义相应于 $a$ 的仿积 (paraproduct) 算子为$$T_{a}u:=\sum _{j\ge 0}{S}_{j-3}a\cdot {\Delta }_{j}u.$$更一般地, 如果 $a(x,\xi )={\sum }_{\alpha :|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }(x)(i\xi {)}^{\alpha }$ 是古典微分象征, 则相应的仿微分算子 (paradifferential operator) 为$$T_{a}u=\sum _{\alpha :|\alpha |\le m}{T}_{a_{\alpha }}{\partial }^{\alpha }u.$$在 $a$ 的表达式特别长的时候, 相应于 $a$ 的仿微分算子也写为$$T_a={\mathbf{Op}}^{\mathrm{BM}}(a).$$

定理 6.2.2 (有界性). 设 $a\in L^{\infty }({\mathbb{T}}^n)$. 则对于任何实数 $s$, 仿积算子 $T_a$ 都是 Sobolev 空间 $H^s$ 上的有界算子: $$\Vert T_{a}u{\Vert }_{H^s}{\lesssim }_s|a{|}_{L^{\infty }}\Vert u{\Vert }_{H^s}.$$

因此, 仿积算子的正则性是很好的, 成立形如 $\Vert {\partial }^{\alpha }{T}_{a}u{\Vert }_{H^s}\lesssim |a{|}_{L^{\infty }}\Vert u{\Vert }_{H^{s+|\alpha |}}$ 这样的估计. 对于通常的乘积算子来说, 这显然是不对的.

定理 6.2.3 (仿线性化). 设 $F\in C^{\infty }$, $F(0)=0$. 设函数 $u\in H^s\cap C_{\ast }^r$, 其中 $r,s>0$. 则成立仿线性化公式$$F(u)=T_{F^{\prime }(u)}u+R_F(u)\in H^s+H^{s+r}.$$余项 $R_F(u)$ 作为 $H^s$ 到 $H^{s+r}$ 的映射是连续可微的.

仿线性化定理说明: 非线性复合 $F(u)$ 里正则性最坏的部分, 原来是仿积 $T_{F^{\prime }(u)}u$, 它具有清晰的可操作的结构.

6.3象征演算

定理 6.3.1 (复合演算). 设 $r>0$. 给定了两个系数在 $C_{\ast }^r$ 中古典微分象征$$a(x,\xi )=\sum _{\alpha :|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }(x)(i\xi {)}^{\alpha },b(x,\xi )=\sum _{\beta :|\beta |\le m^{\prime }}{b}_{\beta }(x)(i\xi {)}^{\beta }.$$定义运算$$(a{\#}_{r}b)(x,\xi )=\sum _{\alpha :|\alpha |\le r}\frac{1}{i^{\alpha }\alpha !}{\partial }_{\xi }^{\alpha }a(x,\xi ){\partial }_x^{\alpha }b(x,\xi ).$$则复合算子 $T_a{T}_b$ 与 $T_{a{\#}_{r}b}$ 之差是 $m+m^{\prime }-r$ 阶的算子, 满足$${\Vert (T_a{T}_b-T_{a{\#}_{r}b})u\Vert }_{H^{s-(m+m^{\prime }-r)}}{\lesssim }_s\sum _{\alpha ,\beta }|a_{\alpha }{|}_{C_{\ast }^r}|b_{\beta }{|}_{C_{\ast }^r}\Vert u{\Vert }_{H^s}.$$特别地, 如果 $a,b\in C_{\ast }^r$ 是两个函数 (零阶算子), 那么$$\Vert (T_a{T}_b-T_{ab})u{\Vert }_{H^{s+r}}{\lesssim }_s|a{|}_{C_{\ast }^r}|b{|}_{C_{\ast }^r}\Vert u{\Vert }_{H^s}.$$

实际上, 对于古典微分象征来说, 鉴于仿积也满足 Leibniz 律, 上述一般结论其实就是仿积复合演算的推论. 显而易见, 运算 ${\#}_r$ 恰好就是通常的象征复合演算的渐近展开截断到 $r$ 阶. 如果 $r$ 比 $a,b$ 的阶都高, 那么 $a{\#}_{r}b$ 正是复合算子 $a(x,D)\circ b(x,D)$ 的象征.

定理 6.3.2 (伴随算子). 设 $r>0$, 给定了系数在 $C_{\ast }^r$ 中的古典微分象征 $a(x,\xi )={\sum }_{\alpha :|\alpha |\le m}{a}_{\alpha }(x)(i\xi {)}^{\alpha }$. 定义运算$$a^{\bullet ;r}(x,\xi )=\sum _{\alpha :|\alpha |\le r}\frac{1}{i^{\alpha }\alpha !}{\partial }_{\xi }^{\alpha }{\partial }_x^{\alpha }\bar{a}(x,\xi ).$$则伴随算子 $T_a^{\ast }$ 与 $T_{a^{\bullet ;r}}$ 之差是 $m-r$ 阶的算子:$${\Vert (T_a^{\ast }-T_{a^{\bullet ;r}})u\Vert }_{H^{s-(m-r)}}{\lesssim }_s\sum _{\alpha }|a_{\alpha }{|}_{C_{\ast }^r}\Vert u{\Vert }_{H^s}.$$特别地, 如果 $a\in C_{\ast }^r$ 是函数 (零阶算子), 那么$$\Vert (T_a^{\ast }-T_{\bar{a}})u{\Vert }_{H^{s+r}}{\lesssim }_s|a{|}_{C_{\ast }^r}\Vert u{\Vert }_{H^s}.$$

当然, 与复合演算一样, 一般结论其实就是仿积伴随演算的推论. 显而易见, 运算 $\bullet ;r$ 恰好就是通常的象征伴随演算的渐近展开截断到 $r$ 阶. 如果 $r$ 比 $a$ 的阶要高, 那么 $a^{\bullet ;r}$ 正是复合算子 $a(x,D)\circ b(x,D)$ 的象征.

总的来说, 对于正则性比较差的象征而言, 仿微分算子的演算一方面保持了微分算子的全部代数结构, 另一方面又能精确地控制正则性的损失.

6.4圆周映射问题新解