3. 近可积系统

3.1记号与约定

上面列出的 RCP3BP 可以再稍微抽象一下, 变成一般的 Hamilton 系统的摄动问题.

为了记号方便, 这里把环面 ${\mathbb{T}}^n$ 视为加法模 $2\pi$ 的 ${\mathbb{R}}^n$, 并且不区分环面上的函数与 ${\mathbb{R}}^n$ 上的 $2\pi$-周期函数. 另外, 所有的向量都理解为列向量. 我们也不区分环面上的向量场和 ${\mathbb{R}}^n$ 到自己的 $2\pi$-周期映射.

给定包含零点的区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$. 将流形 $M:={\mathbb{T}}^n\times \Omega$ 中的点记为 $(x,y)$, 并且赋予标准辛结构$$J=\left(\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right).$$在理论力学中, $x$ 就是 " 角变量 ", $y$ 就是 " 作用量变量 ", 辛流形 $M$ 就是相空间.

对于一个函数 $F:M\to {\mathbb{R}}^L$ 来说, 用 $D$ 来表示它的微分 (Jacobi 矩阵). 如果 $F$ 是数值函数, 那么梯度向量场 $\nabla F$ 则视为列向量, 由微分 $DF$ 的转置给出. 例如, 给定了 Hamilton 函数 $h:M\to \mathbb{R}$, 它的 Hamilton 向量场就是$$X_h(x,y)=\left(\begin{array}{c}{\nabla }_{y}h(x,y)\\ -{\nabla }_{x}h(x,y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{D}_{y}h(x,y{)}^{\mathsf{T}}\\ -D_{x}h(x,y{)}^{\mathsf{T}}\end{array}\right)=J\nabla h(x,y).$$另外, 对于定义在环面上的映射 $u:{\mathbb{T}}^n\to M$, 都用 $\phi$ 来标记自变量, 而把映射 $u(\phi )$ 写作$$u(\phi )=\left(\begin{array}{c}{u}^x(\phi )\\ u^y(\phi )\end{array}\right).$$用 $\partial u$ 来表示 $u$ 对 $\phi$ 的微分. 因此 $\partial u$ 是一个 $2n\times n$ 的矩阵.

设有只依赖作用量变量的 Hamilton 函数 $h_0(y)$. 显然, 它的相流非常规整, 因为相应的 Hamilton 微分方程组的形状是$$\left(\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\nabla }_y{h}_0(y)\\ 0\end{array}\right),$$它可以直接求解为$$\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\nabla }_y{h}_0(y(0))t\\ y(0)\end{array}\right).$$显然流线在相空间 $M$ 中必然永远锚定在 $n$ 维环面 $y=\text{const.}$ 上, 因此这些环面都是不变环面. 它们将整个相空间分叶成了不相交的叶理 (foliation), 在每一叶上, 相流的运动都可以视为环面上的拟周期转动. 可见下图.

3.2可积系统的摄动问题

有了前一小节的约定, 我们可以从 RCP3BP 中抽象出一个一般的摄动问题:

问题 3.2.1. 将 $h_0(y)$ 扰动为 $h(x,y)=h_0(y)+f(x,y)$, 其中扰动 $f$ 接近于零. 那么 $h$ 的相流还有不变环面吗?

可以比较容易地把这个问题化成偏微分方程. 如果嵌入映射 $u:{\mathbb{T}}^n\to M$ 的像是不变环面, 那么存在一个频率向量 $\omega \in {\mathbb{R}}^n$, 使得环面 $u({\mathbb{T}}^n)$ 上的相流是频率为 $\omega$ 的拟周期转动:$$\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{u}^x(\omega t)\\ u^y(\omega t)\end{array}\right).$$因此 $u=u(\phi )$ 作为向量值函数必须满足偏微分方程$$\mathcal{F}(h,u):=X_h(u)-(\omega \cdot \partial )u=0.$$(3.1)这里把 $u^x(\phi )$ 视为环面到自己的微分同胚. 反过来, 如果 $u=u(\phi )$ 是偏微分方程 (3.1) 的解, 那么显然 $u(\omega t)$ 是 Hamilton 向量场 $X_h$ 的流, 而且它当然锚定在环面 $u({\mathbb{T}}^n)$ 上. 所以, 问题就归结为求解偏微分方程 (3.1) 了, 或者等价地说, 寻找映射 $\mathcal{F}(f,u)$ 的零点.

我们指出, 要求解方程 (3.1), 实际上可以只求解一个比它更 " 软 " 的方程.

命题 3.2.2. 设嵌入 $u:{\mathbb{T}}^n\to M$ 和常向量 $\mu \in {\mathbb{R}}^n$ 满足$$\mathcal{F}(h,u)=\left(\begin{array}{c}0\\ \mu \end{array}\right).$$(3.2)那么实际上必有 $\mu =0$.

命题 3.2.2 说明: 为了求解 (3.1), 只需要求解满足方程 (3.2) 的嵌入 $u$ 和常向量 $\mu \in \mathbb{R}$ 就够了.

3.3非退化与非共振

求解 (3.1) 会有两个主要困难. 为了记号方便, 通过适当平移作用量变量, 我们假定在 $y=0$ 附近考虑问题.

首先, 我们当然期望 $u(\phi )\simeq \left(\begin{array}{c}\phi \\ 0\end{array}\right)$, 也就是说摄动系统的不变环面应该接近于摄动之前的 $y=0$. 因此频率向量 $\omega$ 应当接近于 ${\nabla }_y{h}_0(y)$. 如果这个 " 频率映射 " 随着 $y$ 变动时变化得过于单一, 那么不变环面就可能被破坏.

例如, 考虑解耦的谐振子 $h_0(y)=\omega \cdot y$, 其中 $\omega \in {\mathbb{R}}^n$. 如果扰动形如 $h(y)={\omega }^{\prime }\cdot y$, 其中 ${\omega }^{\prime }\ne \omega$, 那么方程 (3.1) 便要求$$(\omega \cdot \partial )u^x={\omega }^{\prime }.$$这当然是不可能的. 要害正在于 " 频率映射 " 随着 $y$ 变动时变化得过于单一. 因此, 如果希望有不变环面在扰动之后能生存下来, 我们就得要求频率随着作用量非退化地变化, 这样才能有足够的容错率. 最简单的非退化条件, 当然是 $y\to h_0(y)$ 给出局部微分同胚; 等价地, 这是说 $\det D_y{\nabla }_y{h}_0(y)\ne 0$.

第二个困难来自于这个系统本身的振荡特性. 例如, 考虑形如 $h(x,y)=\omega \cdot y+f(x)$ 的扰动 (当然, 它还是退化的, 但不妨碍拿来作为简单的例子). 这时 (3.1) 等价于$$\left(\begin{array}{c}(\omega \cdot \partial )u^x\\ (\omega \cdot \partial )u^y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\omega \\ -\nabla f(u^x)\end{array}\right).$$它的解形式上可写为$$\left(\begin{array}{c}{u}^x(\phi )\\ u^y(\phi )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\phi \\ c-(\omega \cdot \partial {)}^{-1}\nabla f(\phi )\end{array}\right),$$其中 $c\in {\mathbb{R}}^n$ 是任意的, $(\omega \cdot \partial {)}^{-1}\nabla f$ 由 Fourier 级数给出:$$(\omega \cdot \partial {)}^{-1}\nabla f(\phi )=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n\setminus \{0\}}\frac{k\hat{f}(k)e^{ik\cdot \phi }}{k\cdot \omega }.$$为了这个级数能够良好定义, 就得要求频率向量 $\omega$ 满足非共振条件 (non-resonant condition): 对于任何非零的格点 $k$, 都有 $k\cdot \omega \ne 0$. 然而这还不够. 即便满足非共振条件, 分母 $k\cdot \omega$ 还是可能会非常小, 从而破坏级数的收敛性.

为了防止这种事发生, 人们便加上了更强的 Diophantine 条件: 存在常数 $\gamma ,\tau >0$ 使得$$|k\cdot \omega |\ge \frac{1}{\gamma |k{|}^{\tau }}\forall k\in {\mathbb{Z}}^n\setminus \{0\}.$$(3.3)

我们现在可以把任务讲得更具体一点:

任务 3.3.1. 设 $M$ 上的可积的 Hamilton 函数 $h_0(y)$ 形如$$h_0(y)=\omega \cdot y+\frac{1}{2}(Qy)\cdot y+O(|y{|}^3),y\to 0,$$(3.4)其中 $\omega$ 满足 $(\gamma ,\tau )$ Diophantine 条件, $Q$ 是非退化的对称 $n$ 阶 (常数值) 方阵. 给定了小扰动 $f(x,y)$, 求解扰动的 Hamilton 函数 $h(x,y)=h_0(y)+f(x,y)$ 的接近于 $y=0$ 的不变环面. 等价地, 求解接近于$${\zeta }_0(\phi )=\left(\begin{array}{c}\phi \\ 0\end{array}\right)$$的映射 $u$ 和接近零的常向量 $\mu \in {\mathbb{R}}^n$, 满足方程 (3.2).