5. 可约化性

回忆一下, 我们要求 $h(x,y)=h_0(y)+f(x,y)$ 是近可积的 Hamilton 函数, 其中当 $y\to 0$ 时$$h_0(y)=\omega \cdot y+\frac{1}{2}(Qy)\cdot y+O(|y{|}^3)$$满足 Diophantine 条件和非退化条件; 还定义了映射$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}(h,u)& :=X_h(u)-(\omega \cdot \partial )u\\ & =\left(\begin{array}{c}{\nabla }_{y}h(u)\\ -{\nabla }_{x}h(u)\end{array}\right)-(\omega \cdot \partial )u,\end{array}$$并且通过命题 3.2.2 把求解 (3.1) 归结为寻找 $\mathcal{F}(h,u)$ 的 " 常值点 ".

然而, 我们已经知道, 方程 (3.1) 本身无法归类于椭圆/抛物/双曲等任何一类. 求解它需要一些专门的解析方法. 在讨论解析方法之前, 仿照前一讲中圆周映射的例子, 我们可以说明, $\mathcal{F}(h,u)$ 的线性化映射仍然具有可约性.

在这一部分的讨论中, 除了最后一小节之外, 我们都不关心正则性问题, 所有的映射都假定是足够光滑的.

5.1线性化方程的约化

为记号简便起见, 定义矩阵值函数$$\begin{array}{rl}A[u]& :=(DJ\nabla h)(u)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{D}_x{\nabla }_{y}h(u)& D_y{\nabla }_{y}h(u)\\ -D_x{\nabla }_{x}h(u)& -D_y{\nabla }_{x}h(u)\end{array}\right)\in {\mathbf{M}}_{2n\times 2n},\end{array}$$于是 $\mathcal{F}(h,u)$ 对 $u$ 的沿着方向 $v$ 的线性化可写为$$D_u\mathcal{F}(h,u)v=A[u]v-(\omega \cdot \partial )v.$$

定义两个矩阵值函数如下:$$\begin{array}{rl}N[u]& ={\left(\partial u^{\top }\cdot \partial u\right)}^{-1}\in {\mathbf{M}}_{n\times n},\\ M[u]& =\left(\begin{array}{cc}\partial u& (J\partial u)\cdot N[u]\end{array}\right)\in {\mathbf{M}}_{2n\times 2n}.\end{array}$$在此基础上, 定义 $n\times n$ 矩阵值函数$$\begin{array}{rl}S[u]& =N[u]\cdot (\partial u{)}^{\top }\cdot [A[u],J]\cdot (\partial u)\cdot N[u].\end{array}$$(5.1)还定义一个线性的微分算子如下: 对于 $E:{\mathbb{T}}^n\to {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n$, 写 $n\times 2n$ 矩阵值微分算子 $B_{1,2,3}[E]$ 为:$$\begin{array}{rl}{B}_1[E]& =\partial E,\\ B_2[E]& =J\partial E\cdot N[u],\\ B_3[E]& =J\partial u\cdot N[u{]}^2\left((\partial E{)}^{\top }\cdot \partial u-(\partial u{)}^{\top }\cdot \partial E\right)+J\partial u\cdot N[u]\cdot (\partial u{)}^{\top }\cdot (\partial E)\cdot N[u],\end{array}$$(5.2)并写$$\mathbf{B}\left[\mathcal{F}(h,u)\right]=\left(\begin{array}{cc}{B}_1\left[\mathcal{F}(h,u)\right]& B_2\left[\mathcal{F}(h,u)\right]+B_3\left[\mathcal{F}(h,u)\right]\end{array}\right).$$

我们有如下的代数结果:

命题 5.1.1. 沿用上面的记号, 线性化映射 $D_u\mathcal{F}(h,u)$ 满足代数恒等式$$D_u\mathcal{F}(h,u)(M[u]v)=M[u]\left(\begin{array}{cc}{0}_n& S[u]\\ 0_n& 0_n\end{array}\right)v-M[u](\omega \cdot \partial )v+\mathbf{B}\left[\mathcal{F}(h,u)\right]v.$$(5.3)这里 $\mathbf{B}\left[\mathcal{F}(h,u)\right]$ 对于 $\mathcal{F}(h,u)$ 是线性的.

证明. 证明其实是直接的计算.

$\square$

5.2辛几何解释

命题 5.1.1 的证明所依赖的计算并不复杂. 但问题在于, 定义这些矩阵函数的动机何在?

最后, 回忆一下 $h(x,y)=h_0(y)+f(x,y)$ 是一个近可积的 Hamilton 函数, 所以$${\zeta }_0(\phi )=\left(\begin{array}{c}\phi \\ 0\end{array}\right)$$应当是一个近似不变环面, 因为$$\mathcal{F}(h,{\zeta }_0)=\left(\begin{array}{c}{\nabla }_{y}f(x,0)\\ -{\nabla }_{x}f(x,0)\end{array}\right)\simeq 0.$$

5.3线性化方程的近似解

有了可约化性质, 研究线性化算子 $D_u\mathcal{F}(h,u)$ 就方便了很多.

显然 (5.3) 可重写为等价形式$$\begin{array}{rl}{D}_u\mathcal{F}(h,u)v& =M[u]\left(\begin{array}{cc}{0}_n& S[u]\\ 0_n& 0_n\end{array}\right)M[u{]}^{-1}v\\ & -M[u](\omega \cdot \partial )(M[u{]}^{-1}v)+\mathbf{B}\left[\mathcal{F}(h,u)\right]M[u{]}^{-1}v.\end{array}$$(5.4)这个等价形式的好处在于, 它使得我们可以求出线性化方程 $D_u\mathcal{F}(h,u)v=g$ 的近似解. 实际上, $\mathcal{F}(h,u)$ 不是别的, 正是衡量 $u({\mathbb{T}}^n)$ 在多大程度上偏离不变环面的量度. 因此, 如果 $u({\mathbb{T}}^n)$ " 近似 " 是不变环面, 那么公式 (5.4) 的最后一项是一个二阶误差项, 因为它对于 $\mathcal{F}(h,u)$ 和 $v$ 是双线性的.

对于已知的 $g:{\mathbb{T}}^n\to {\mathbb{R}}^{2n}$, 先来考虑丢掉这个二阶误差项的同调方程 (homological equation)$$M[u]\left(\begin{array}{cc}{0}_n& S[u]\\ 0_n& 0_n\end{array}\right)M[u{]}^{-1}v-M[u](\omega \cdot \partial )(M[u{]}^{-1}v)=g-\left(\begin{array}{c}0\\ \mu \end{array}\right).$$(5.5)

命题 5.3.1. 存在常向量 $\mu \in {\mathbb{R}}^n$, 使得 (5.5) 有解 $v$; 而且, $v,\mu$ 对于右端 $g$ 都是线性的.

证明. 事实上, 若写 $v_1=M[u{]}^{-1}v$, $g_1=M[u{]}^{-1}g$, $({\mu }_1^x,{\mu }_1^y{)}^{\mathsf{T}}=M[u{]}^{-1}(0,\mu {)}^{\mathsf{T}}$, 则 (5.5) 化为$$\begin{array}{rl}-(\omega \cdot \partial )v_1^y& =g_1^y-{\mu }_1^y,\\ S[u]v_1^y-(\omega \cdot \partial )v_1^x& =g_1^x-{\mu }_1^x.\end{array}$$(5.6)既然 $u$ 接近 ${\zeta }_0$, 那么就有$$N[u]=I_n+O(\partial (u-{\zeta }_0)),M[u]=\left(\begin{array}{cc}{I}_n& 0\\ 0& -I_n\end{array}\right)+O(\partial (u-{\zeta }_0)).$$因此, 可以找到唯一的一个常向量 $\mu \in {\mathbb{R}}^n$ 使得$$\mathrm{Avg}\left(\begin{array}{c}{\mu }_1^x\\ {\mu }_1^y\end{array}\right)=\mathrm{Avg}M[u{]}^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\ \mu \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{Avg}{g}_1^y\end{array}\right).$$于是 (5.6) 的第一个方程就可以求解了: $$v_1^y=(\omega \cdot \partial {)}^{-1}(g_1^y-{\mu }_1^y)+\lambda ,$$其中 $\lambda =\mathrm{Avg}{v}_1^y$ 尚且待定.

将 $v_1^y$ 代入第二个方程, 得到$$(\omega \cdot \partial )v_1^x=-(g_1^x-{\mu }_1^x)+S[u](\omega \cdot \partial {)}^{-1}(g_1^y-{\mu }_1^y)+S[u]\lambda .$$既然 $u-{\zeta }_0\simeq 0$, 那么便有 $S[u]\simeq Q$, 由于它是非退化对称方阵, 于是可以找到唯一一个 $\lambda \in {\mathbb{R}}^n$ 使得右边的均值为零. 这样的 $\lambda$ 对于 $g$ 显然也是线性的. 由此也解出了 $v_1^x$: $$v_1^x=(\omega \cdot \partial {)}^{-1}(-(g_1^x-{\mu }_1^x)+S[u](\omega \cdot \partial {)}^{-1}(g_1^y-{\mu }_1^y)+S[u]\lambda ).$$它对于 $g$ 也还是线性的.

最后回到 $v=M[u]v_1$, 就看出来解 $v$ 对 $g$ 是线性的了.

$\square$

由此可见, 如果将 (5.6) 的解写作 $v=\Psi (u)g$, $\mu =\mu (g)$, 那么解算子 $\Psi (u)$ 是线性的, 而且更有$$D_u\mathcal{F}(h,u)\Psi (u)g=g+\mu (g)+\mathbf{B}[\mathcal{F}(h,u)]M[u{]}^{-1}\Psi (u)g.$$

5.4结构对比

援引前一讲中的 " 难 " 隐函数定理, 我们便可以得出不变环面的存在性了. 实际上, 还可以列一个表格来对比圆周映射的共轭标准型与 Hamilton 系统的不变环面问题:

	圆周映射	Hamilton 系统
方程	${\Delta }_{\alpha }u=f(\mathrm{Id}+u)-\lambda$	$(\omega \cdot \partial )u=X_h(u)+\left(\begin{array}{c}0\\ \mu \end{array}\right)$
Diophantine 条件
可约性	$$D_U\mathcal{F}(f,U)V=(1+u^{\prime }\circ {\tau }_{\alpha }){\Delta }_{\alpha }\left(\frac{v}{1+u^{\prime }}\right)+\mu +\frac{[\mathcal{F}(f,U){]}^{\prime }}{1+u^{\prime }}v$$	$$\begin{array}{rl}{D}_u\mathcal{F}(h,u)v& =M[u]\left(\begin{array}{cc}{0}_n& S[u]\\ 0_n& 0_n\end{array}\right)M[u{]}^{-1}v\\ & -M[u](\omega \cdot \partial )(M[u{]}^{-1}v)+\mathbf{B}\left[\mathcal{F}(h,u)\right]M[u{]}^{-1}v\end{array}$$