4. 模式问题: 圆周映射

求解偏微分方程 (3.1) 或者它的等价形式 (3.2) 曾经被视为繁难的工作. 原因显而易见: 在求算子 $\omega \cdot \partial$ 的逆算子时, 小分母会导致正则性的丢失. 因此它无法归类到椭圆/抛物/双曲等等标准类别中. 如果试图简单地使用 Banach 不动点定理的方法, 例如考虑$$u_{k+1}=(\omega \cdot \partial {)}^{-1}{X}_h(u_k)$$这样的迭代, 那么为了控制 $u_{k+1}$ 的 $s$ 阶导数, 就必须知道 $u_k$ 的 $s+\tau$ 阶导数的信息. 因此, 迭代在有限步之内就会丢失关于正则性的全部信息.

历史上, 解决这种困难的办法是所谓的 "Nash-Moser/KAM 迭代 ". 为了说清楚它的基本思想, 让我们先宕开一笔, 讨论一个与它结构颇为类似但技术上简单许多的问题: 圆周映射.

4.1圆周微分同胚的摄动

在以下叙述中, 总将圆周 ${\mathbb{S}}^1$ 视为模 $2\pi$ 的实数之集, 加法理解为模 $2\pi$ 的加法.

设 $\alpha \in (0,2\pi )$ 是给定的角度, 与 $\pi$ 不可公度. 以 ${\tau }_{\alpha }$ 表示旋转映射 $x\to x+\alpha$. 考虑如下问题:

问题 4.1.1. 设 $f:{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{S}}^1$ 是接近 0 的光滑映射. 微分同胚 $\phi (x)=x+\alpha +f(x)$ 是否光滑共轭于旋转 ${\tau }_{\alpha }$? 也就是说, 是否存在微分同胚 $\eta :{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{S}}^1$, 使得 ${\tau }_{\alpha }={\eta }^{-1}\circ \phi \circ \eta$?

这个问题跟 Hamilton 向量场的拟周期轨道问题很相似. 它们都是在问: 对于 " 复杂 " 的动力系统, 是否有可能将其共轭到简单的标准型 (normal form)? 对于这个圆周微分同胚的问题, 如果答案为是, 那么 $x\to x+\alpha +f(x)$ 在迭代之下的动力学性质等价于简单的旋转. 实际上, 它的 $n$ 次迭代有形如 $\eta ({\eta }^{-1}(x)+n\alpha )$ 的显式表达式, 而不仅仅是一个看不出规律的递归序列. 用初等的语言来讲, 存在一个 " 桥函数 "$\eta$ 使得迭代 $x_{n+1}=\phi (x_n)$ 的通项公式得以简化.

当然, 要想问题可解, $f$ 本身必须还得满足一些额外的条件. 有经典的 Denjoy 定理:

定理 4.1.2. 设 $\phi :{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{S}}^1$ 是保定向的光滑微分同胚, 其旋转数 $\alpha$ 与 $\pi$ 不可公度. 则 $\phi$ 拓扑共轭于旋转 ${\tau }_{\alpha }$, 不过这里的共轭只能确保是有界变差的.

如果 $x\to x+\alpha +f(x)$ 的旋转数不等于 $\alpha$, 那么 Denjoy 定理立即便说明所论的共轭问题无解. 因此, 需要给 $f$ 附加上一个可积条件, 而将问题修正如下:

问题 4.1.3. 设 $f:{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{S}}^1$ 是接近 0 的光滑映射. 如果微分同胚 $x\to x+\alpha +f(x)$ 的旋转数仍是 $\alpha$, 则它能否光滑共轭于旋转 ${\tau }_{\alpha }$?

将欲求的共轭写为 $\eta (x)=x+u(x)$. 有如下类似于命题 3.2.2 的简单结论:

命题 4.1.4. 设实常数 $\lambda$ 使得微分同胚 $\eta :{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{S}}^1$ 满足函数方程$$\eta (x+\alpha )=(\phi \circ \eta )(x)-\lambda .$$如果 $\phi$ 的旋转数仍然是 $\alpha$, 那么 $\lambda$ 必然等于零.

实际上, 对于旋转数的初等分析说明, ${\tau }_{\lambda }\circ \phi$ 的旋转数作为 $\lambda$ 的函数是严格单调递增的连续函数. 如果 $\eta$ 满足上述函数方程, 那么 $\eta \circ {\tau }_{\alpha }\circ {\eta }^{-1}={\tau }_{-\lambda }\circ \phi$, 而由于 $\phi$ 的旋转数也是 $\alpha$, 那么 $\lambda$ 就只能等于零.

命题 4.1.4 说明, 引进辅助参数 $\lambda$ 其实并没有改变问题. 经过简单的计算, 这个函数方程等价于$${\Delta }_{\alpha }u=f\circ (\mathrm{Id}+u)-\lambda ,$$(4.1)其中差分算子 $({\Delta }_{\alpha }u)(x)=u(x+\alpha )-u(x)$. 因此问题变为求解 $(u,\lambda )$.

为了说明求解函数方程 (4.1) 的困难所在, 可以将它在 $(u,\lambda )=(0,0)$ 处沿着方向 $(v,\mu )$ 线性化, 而得到线性方程$${\Delta }_{\alpha }v+\mu =h.$$在动力系统研究中, 它叫做同调方程 (homological equation). 可以通过 Fourier 级数来求解它: 固定 $\hat{v}(0)=0$, 则此线性方程的唯一解是$$v(x)=\sum _{k\ne 0}\frac{\hat{h}(k)e^{ikx}}{e^{ik\alpha }-1},\mu =\mathrm{Avg}h.$$这里出现的技术困难也是 " 小分母 ": 尽管每个系数中的分母 $e^{ik\alpha }-1$ 都不等于零, 但对于那些使得 $k\alpha$ 接近于 $2\pi$ 的整数倍的 $k$, 分母还是会变得非常小, 这很可能大大拖累级数的收敛速度.

为了能够控制正则性丢失的阶次, 角度 $\alpha$ 应当满足额外的数论条件: 比值 $\alpha /\pi$ 不仅应当是无理数, 而且还不能被有理数逼近得太好. 一般来说, 对它的要求是满足如下的 Diophantine 条件: 存在 $\gamma ,\tau >0$, 使得$$\left|\frac{q\alpha }{\pi }-p\right|\ge \frac{1}{\gamma q^{\tau }},\forall p,q\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}.$$这样的话, 至少可以保证 ${\Delta }_{\alpha }^{-1}$ 造成的正则性丢失可控.

4.2可约性与近似解

为了求解方程 (4.1), 定义未知量 $U=(u,\lambda )$, 于是我们要做的就是求解使得映射$$\mathcal{F}(f,U)={\Delta }_{\alpha }u-f\circ (\mathrm{Id}+u)+\lambda$$取得零值的 $U$.

我们先来研究相应的线性化问题. 映射 $\mathcal{F}(f,U)$ 沿着方向 $V=(v,\mu )$ 线性化是$$D_U\mathcal{F}(f,U)V={\Delta }_{\alpha }v-f^{\prime }\circ (\mathrm{Id}+u)v+\mu .$$由于有乘积项 $f^{\prime }\circ (\mathrm{Id}+u)v$, 方程 $D_U\mathcal{F}(f,U)V=h$ 并不容易求解. 不过可以退而求其次, 寻找某种意义下的 " 近似解 ". 这就需要用到共轭问题本身特有的代数性质了. 根据映射 $\mathcal{F}(f,U)$ 的定义, 可以对 $x$ 求导数, 而立即得到一个非常简单的恒等式$$f^{\prime }\circ (\mathrm{Id}+u)=\frac{{\Delta }_{\alpha }{u}^{\prime }}{1+u^{\prime }}-\frac{[\mathcal{F}(f,U){]}^{\prime }}{1+u^{\prime }}.$$(4.2)用 (4.2) 来替换 $f^{\prime }\circ (\mathrm{Id}+u)$, 即可直接算出$$\begin{array}{rl}{D}_U\mathcal{F}(f,U)V& ={\Delta }_{\alpha }v-\frac{{\Delta }_{\alpha }{u}^{\prime }\cdot v}{1+u^{\prime }}+\frac{[\mathcal{F}(f,U){]}^{\prime }}{1+u^{\prime }}v+\mu \\ & =(1+u^{\prime }\circ {\tau }_{\alpha }){\Delta }_{\alpha }\left(\frac{v}{1+u^{\prime }}\right)+\mu +\frac{[\mathcal{F}(f,U){]}^{\prime }}{1+u^{\prime }}v\end{array}$$(4.3)最后一步对差分算子 ${\Delta }_{\alpha }$ 的操作很类似于导数的乘积法则.

下一步是丢掉 (4.3) 中关于 $\mathcal{F}(f,U)$ 为线性的项, 把标蓝的部分抽出来, 而考虑线性同调方程$$(1+u^{\prime }\circ {\tau }_{\alpha }){\Delta }_{\alpha }\left(\frac{v}{1+u^{\prime }}\right)+\mu =h.$$(4.4)(4.4) 是容易求解的, 可以直接写出解算子的表达式$$\begin{array}{rl}\Psi (U)h& =\left((1+u^{\prime }){\Delta }_{\alpha }^{-1}\left[\frac{h-\mu (h)}{1+u^{\prime }\circ {\tau }_{\alpha }}\right],\mu (h)\right),\\ \text{其中}& \mu (h)=\frac{\mathrm{Avg}((1+u^{\prime }\circ {\tau }_{\alpha }{)}^{-1}h)}{\mathrm{Avg}((1+u^{\prime }\circ {\tau }_{\alpha }{)}^{-1})}\end{array}$$于是显然有$$D_U\mathcal{F}(f,U)\Psi (U)h-h=[\mathcal{F}(f,U){]}^{\prime }{\Delta }_{\alpha }^{-1}\left(\frac{h}{1+u^{\prime }\circ {\tau }_{\alpha }}-\mu (h)\right).$$显然, 如果 $U$ 果真使得 $\mathcal{F}(f,U)=0$, 那么 $\Psi (U)$ 就的的确确是 $D_U\mathcal{F}(f,U)$ 的解算子. 但对于一般的 $U$ 来说, $\Psi (U)$ 只是一个 " 容许二次误差的解算子 ": 上面表达式的右端对于映射的取值 $\mathcal{F}(f,U)$ 和 $h$ 是双线性的.

方程 (4.1) 和 Hamilton 系统的 (3.2) 很相似. 我们将在下一讲中对比两者的代数结构.

4.3" 难 " 隐函数定理与 KAM 迭代

定理 4.3.1. 设指标 $\lambda \in [0,1]$, 而 ${\mathcal{H}}_{\lambda },{\mathcal{U}}_{\lambda },{\mathcal{W}}_{\lambda }$ 是递降的 Banach 空间族. 设 $(f_0,u_0)\in {\mathcal{H}}_1\times {\mathcal{U}}_1$, 亦即最小的空间, 并定义开集 ${\mathcal{B}}_r^{\lambda }:=B_{\mathcal{H}}^{\lambda }(f_0,r)\times B_{\mathcal{U}}^{\lambda }(u_0,r)\subset {\mathcal{H}}_{\lambda }\times {\mathcal{U}}_{\lambda }$. 设 $\mathcal{F}:{\mathcal{B}}_r^0\to {\mathcal{W}}_0$ 是一个映射, 使得 $\mathcal{F}(f_0,u_0)=0$, 并满足下列条件:

•	对于 $\lambda \in [0,1]$, $\mathcal{F}:{\mathcal{B}}_r^{\lambda }\to {\mathcal{W}}_{\lambda }$ 是连续的.
•	Taylor 公式: 存在常数 $K>0$, $\alpha \ge 0$, 使得对于一切 $0<\lambda \le 1$ 以及 $0<\delta \le \lambda$, 映射 $\mathcal{F}:{\mathcal{B}}_r^{\lambda }\to {\mathcal{W}}_{\lambda -\delta }$ 对于 $u$ 可微, 而且还有二阶估计$$|\mathcal{F}(f,u^{\prime })-\mathcal{F}(f,u)-D_u\mathcal{F}(f,u)(u^{\prime }-u){|}_{\lambda -\delta }\le \frac{K}{{\delta }^{2\alpha }}|u^{\prime }-u{|}_{\lambda }^2,(f,u),(f,u^{\prime })\in {\mathcal{B}}_r^{\lambda }.$$(4.5)
•	$D_u\mathcal{F}(f,u)$ 有近似解算子: 存在线性算子 $\mathcal{L}(f,u):{\mathcal{W}}_0\to {\mathcal{U}}_0$ 以及常数 $K>0$, $\beta >0$, 使得只要 $0<\lambda \le 1$, $0<\delta \le \lambda$, 就有$$|\mathcal{L}(f,u)w{|}_{\lambda -\delta }\le \frac{K}{{\delta }^{\beta }}|w{|}_{\lambda },(f,u)\in {\mathcal{B}}_r^{\lambda };$$(4.6)$$\left|\right(D_u\mathcal{F}(f,u)\cdot \mathcal{L}(f,u)-\mathrm{Id})w{|}_{\lambda -\delta }\le \frac{K}{{\delta }^{2(\alpha +\beta )}}|\mathcal{F}(f,u){|}_{\lambda }|w{|}_{\lambda },(f,u)\in {\mathcal{B}}_r^{\lambda }.$$(4.7)

则任给指标 $\lambda \in (0,1]$, 都存在半径 $r_{\lambda }\le r$ 和 " 解映射 "${\psi }_{\lambda }:B_{\mathcal{H}}^{\lambda }(f_0,r_{\lambda })\to B_{\mathcal{U}}^{\lambda /2}(u_0,r_{\lambda })$, 使得 $\mathcal{F}(f,{\psi }_{\lambda }(f))=0$.

证明. 这个证明其实是仿照经典的 Newton 迭代方法作出的. 考虑 Newton 型迭代序列$$u_{k+1}=u_k-\mathcal{L}(f,u_k)\cdot \mathcal{F}(f,u_k).$$直接计算可见$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}(f,u_{k+1})& =\mathcal{F}(f,u_{k+1})-\mathcal{F}(f,u_k)-D_u\mathcal{F}(f,u_k)(u_{k+1}-u_k)\\ & -(D_u\mathcal{F}(f,u_k)\cdot \mathcal{L}(f,u_k)-\mathrm{Id})\mathcal{F}(f,u_k).\end{array}$$这里我们假定 $f$ 充分接近 $f_0$, 并暂时假定序列是良好定义的. 我们试图证明: 虽然线性化映射的解算子导致 " 正则性的丢失 ", 但序列 $u_k$ 仍然可以在越来越弱的范数之下收敛.

设 ${\lambda }_k$ 是始于 $\lambda \in (0,1]$ 并递降到 $\lambda /2$ 的序列, 其具体取值待定; 并命 ${\mu }_{k+1}=({\lambda }_{k+1}+{\lambda }_k)/2$. 则 (4.6) 给出$$|u_{k+1}-u_k{|}_{{\mu }_{k+1}}\le \frac{K}{({\lambda }_k-{\mu }_{k+1}{)}^{\beta }}|\mathcal{F}(f,u_k){|}_{{\lambda }_k}.$$(4.8)有了 (4.8) 这个估计式, 条件 (4.5) 和 (4.7) 便给出$$|\mathcal{F}(f,u_{k+1}){|}_{{\lambda }_{k+1}}\le \left[\frac{K^3}{({\mu }_{k+1}-{\lambda }_{k+1}{)}^{2\alpha }({\lambda }_k-{\mu }_{k+1}{)}^{2\beta }}+\frac{K}{({\lambda }_k-{\lambda }_{k+1}{)}^{2(\alpha +\beta )}}\right]|\mathcal{F}(f,u_k){|}_{{\lambda }_k}^2.$$这就是我们马上要使用的 " 二阶性质 ": 虽然 $|\mathcal{F}(f,u_k){|}_{{\lambda }_k}^2$ 前面的系数增长至无穷, 但它的二阶性质足以平衡掉这越来越大的系数, 导致收敛的结果.

于是我们可以选择 ${\lambda }_k=2^{-(k+1)}\lambda +\lambda /2$. 如果简写 ${\epsilon }_k=|\mathcal{F}(f,u_k){|}_{{\lambda }_k}$, 那么上述 " 二阶性质 " 就化为$${\epsilon }_{k+1}\le B{Q}^k{\epsilon }_k^2,$$其中 $Q=4^{\alpha +\beta }$, $B={\lambda }^{-2(\alpha +\beta )}(Q^{2}K+Q^3{K}^3)$. 如果考虑作比较的序列 $c_{k+1}=B{Q}^k{c}_k^2$, 其中起点 $c_0={\epsilon }_0$, 那么显然 ${\epsilon }_k\le c_k$. 十分初等的计算足以给出 $c_k$ 的通项公式. 如果 $c_0={\epsilon }_0$ 充分小, 那么 $c_k$ 便以双指数的速度趋于零 (即 $O(e^{-A{D}^k})$, 其中 $A>0$, $D>1$). 因此, 如果 ${\epsilon }_0=|\mathcal{F}(f,u_0){|}_{\lambda }$ 充分小, 那么 ${\epsilon }_k$ 就以双指数的速度趋于零.

作为结果, 如果 $r_{\lambda }=|f-f_0{|}_{\lambda }$ 充分小, 那么 ${\epsilon }_0=|\mathcal{F}(f,u_0){|}_{\lambda }$ 便足以使得 ${\epsilon }_k\to 0$. 这种情况下, 不等式 (4.8) 说明迭代序列 $u_k$ 是良好定义的, 一直都不跑出 $u_0$ 的小邻域, 而且在 ${\mathcal{U}}_{\lambda /2}$ 的范数下是 Cauchy 序列. 因此它收敛到某个 $u\in {\mathcal{U}}_{\lambda /2}$, 且满足 $\mathcal{F}(f,u)=0$. 这就给出了要求的解映射 ${\psi }_{\lambda }$.

$\square$