2.3. 基本性

现在我们来讨论基本性. 正如基础性恰到好处地刻画了 ${\Delta }_0$ 分离子的性质, 基本性恰到好处地刻画了 ${\Delta }_0$ 特征函数的性质.

定义 2.3.0.1. 我们给出下列对函数符号基本性的刻画.

1.

称函数符号 $f$ 是归纳基本的, 若它可在有穷步内由以下操作得到: 1. 取初始函数 $f(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1})=x_{\mathfrak{i}}$. 2. 取初始函数 $f(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1})=\{x_{\mathfrak{i}},x_{\mathfrak{j}}\}$. 3. 取初始函数 $f(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1})=x_{\mathfrak{i}}\backslash x_{\mathfrak{j}}$. 4. 取归纳基本函数 $g$ 的受限极小化, 即取 $$\begin{gathered} f(x_0,x_1,...,x_{\mathfrak{n}-1})= \\ {\bigcup }_{x\in x_0}g(x,x_0,x_1,...,x_{\mathfrak{n}-1}) \end{gathered}$$. 5. 取归纳基本函数 $h,g_0,...,g_{\mathfrak{m}-1}$ 的复合, 即取 $f(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1})=h(g_0(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1}),...,g_{\mathfrak{m}-1}(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1}))$.

2.

称函数符号 $f$ 是算子基本的, 若它可在有穷步内由以下操作得到: 1. 取基本算子 ${\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}$. 2. 取算子基本函数的复合.

全体算子基本函数符号构成的 (元) 集合记为 $\mathcal{R}$.

一个自然的期望就是证明这两个基本性的刻画相互等价, 而事实的确如此.

元定理 2.3.0.2. 算子基本函数都是归纳基本函数.

证明. 显然只需验证每个 ${\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}$ 都是归纳基本函数即可. 我们证明一个引理.

元定理 2.3.0.3 (归纳基本函数的分段定义). 如果 $\psi (u_0,...,u_{\mathfrak{m}-1})$ 是 ${\Delta }_0$ 句子, $f(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1})$ 是归纳基本函数, 则 $g(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1},u_0,...,u_{\mathfrak{m}-1})$ 同样是归纳基本函数, 这里 $g$ 在 $\psi (u_0,...,u_{\mathfrak{m}-1})$ 时取值为 $f$, 在 $\neg \psi$ 时取值为 $\varnothing$.

证明. 我们证明对每个 $\psi$ 都存在一个特殊的归纳基本函数 ${\chi }_{\psi }^{\prime }(u_0,...,u_{\mathfrak{m}-1})$, 其在 $\psi$ 成立时取非空集合, 在 $\psi$ 不成立时取 $\varnothing$. 只要此事成立, 就有 $g={\bigcup }_{y\in {\chi }_{\psi }}f$ 是复合后取受限极小化所得. 对 $\psi$ 的结构进行元归纳.

1.	$\psi$ 形若 $u_{\mathfrak{i}}\ne u_{\mathfrak{j}}$, 令 ${\chi }_{\psi }^{\prime }(u_0,...,u_{\mathfrak{m}-1})=(u_{\mathfrak{i}}\backslash u_{\mathfrak{j}})\cup (u_{\mathfrak{j}}\backslash u_{\mathfrak{i}})$.
2.	$\psi$ 形若 $\neg \varphi$, 令 ${\chi }_{\psi }^{\prime }=\{\varnothing \}\backslash ({\bigcup }_{u\in {\chi }_{\varphi }^{\prime }}\{\varnothing \})$.
3.	$\psi$ 形若 $u_{\mathfrak{i}}\in u_{\mathfrak{j}}$, 令 ${\chi }_{\psi }^{\prime }(u_0,...,u_{\mathfrak{m}-1})={\bigcup }_{u\in u_{\mathfrak{j}}}{\chi }_{u=u_{\mathfrak{i}}}^{\prime }$.
4.	$\psi$ 形若 ${\varphi }_1\vee {\varphi }_2$, 令 ${\chi }_{\psi }^{\prime }={\chi }_{{\varphi }_1}^{\prime }\cup {\chi }_{{\varphi }_2}^{\prime }$.
5.	$\psi$ 形若 $\exists u\in u_{\mathfrak{i}}(\varphi (u,u_0,...,u_{\mathfrak{m}-1}))$, 令 ${\chi }_{\psi }^{\prime }={\bigcup }_{u\in u_{\mathfrak{i}}}{\chi }_{\varphi }^{\prime }$.

归纳完成, 故证明完成.

$\square$

接下来逐个验证即可.

1.	${\mathcal{R}}_1(x,y)=\{x,y\}$ 是初始函数.
2.	${\mathcal{R}}_3(x,y)=x\backslash y$ 是初始函数.
3.	${\mathcal{A}}_0(x)={\mathcal{R}}_1(x,x)$ 是复合.
4.	${\mathcal{A}}_1(x,y)={\mathcal{R}}_1({\mathcal{R}}_1(x,y),{\mathcal{A}}_0(x))$ 是复合.
5.	${\mathcal{A}}_2(x,y,z)={\mathcal{R}}_1(x,{\mathcal{A}}_1(y,z))$ 是复合.
6.	${\mathcal{A}}_3(x,y,z)={\mathcal{A}}_1({\mathcal{A}}_1(x,y),z)$ 是复合.
7.	${\mathcal{A}}_4(x,y)={\mathcal{R}}_3(x,{\mathcal{R}}_3(x,y))$ 是复合.
8.	${\mathcal{A}}_5(x)={\mathcal{R}}_3(x,x)$ 是复合.
9.	${\mathcal{A}}_6(x)=x$ 是初始函数.
10.	${\mathcal{R}}_2(x,y)={\bigcup }_{u\in x}{\bigcup }_{v\in y}{\mathcal{A}}_0({\mathcal{A}}_1(u,v))$ 是复合后取受限极小化.
11.	${\mathcal{R}}_4(x)={\bigcup }_{u\in x}u$ 是初始函数取受限极小化.
12.	${\mathcal{R}}_5(x)=f({\mathcal{R}}_4({\mathcal{R}}_4(x)),x)$, 此处 $f(y,x)={\bigcup }_{z\in y}h(z,x)$, 此处 $w=h(z,x)$ 定义为 $(w=\varnothing \wedge \forall a\in {\mathcal{R}}_4({\mathcal{R}}_4(x))(\neg ({\mathcal{A}}_1(a,z)\in x)))\vee (w={\mathcal{A}}_0(z)\wedge \exists a\in {\mathcal{R}}_4({\mathcal{R}}_4(x))({\mathcal{A}}_1(a,z)\in x))$.
13.	${\mathcal{R}}_6(x)={\bigcup }_{y\in x}f(y,x)$, 此处 $z=f(y,x)$ 定义为 $(z=\varnothing \wedge \neg \exists u\in y\exists a\in u\exists b\in u(y={\mathcal{A}}_1(a,b)\wedge a\in b))\vee (z={\mathcal{A}}_0(y)\wedge \exists u\in y\exists a\in u\exists b\in u(y={\mathcal{A}}_1(a,b)\wedge a\in b))$.
14.	${\mathcal{R}}_7(x)={\bigcup }_{y\in x}f(y,x)$, 此处 $z=f(y,x)$ 定义为 $y$ 不是 $x$ 中形如 $(a,b,c)$ 的元素时 $z=\varnothing$, 而 $y$ 是 $x$ 中形如 $(a,b,c)$ 的元素时 $z=\{(c,b,a)\}$.
15.	${\mathcal{R}}_8(x)={\bigcup }_{y\in x}f(y,x)$, 此处 $z=f(y,x)$ 定义为 $y$ 不是 $x$ 中形如 $(a,b,c)$ 的元素时 $z=\varnothing$, 而 $y$ 是 $x$ 中形如 $(a,b,c)$ 的元素时 $z=\{(b,a,c)\}$.

$\square$

元定理 2.3.0.4. 归纳基本函数都是算子基本函数.

证明. 我们希望证明: 若 $f$ 是归纳基本函数, 则 $f^{\prime \prime }$ 是算子基本函数. 自然的想法是利用 Grandy-Jensen 引理获得作为算子基本函数的第一类伴生函数 $f^{\prime \prime }$, 因此只需证明归纳基本函数均有基础的第二类伴生函数.

1.	初始函数 $f(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1})=x_{\mathfrak{i}}$ 以 $F(y_0,...,y_{\mathfrak{n}-1})=\bigcup y_{\mathfrak{i}}$ 为第二类伴生函数.
2.	初始函数 $f(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1})=\{x_{\mathfrak{i}},x_{\mathfrak{j}}\}$ 以 $F(y_0,...,y_{\mathfrak{n}-1})=\bigcup \bigcup (y_{\mathfrak{i}}\times y_{\mathfrak{j}})$ 为第二类伴生函数.
3.	初始函数 $f(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1})=x_{\mathfrak{i}}\backslash x_{\mathfrak{j}}$ 同样以 $F(y_0,...,y_{\mathfrak{n}-1})=\bigcup y_{\mathfrak{i}}$ 为第二类伴生函数.
4.	$f(x_0,x_1,...,x_{\mathfrak{n}-1})={\bigcup }_{x\in x_0}g(x,x_0,x_1,...,x_{\mathfrak{n}-1})$ 且 $g$ 已有第二类伴生函数 $G$, 取 $F(y_0,...,y_{\mathfrak{n}-1})=G(\bigcup y_0,y_0,...,y_{\mathfrak{n}-1})$.
5.	$f(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1})=h(g_0(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1}),...,g_{\mathfrak{m}-1}(x_0,...,x_{\mathfrak{n}-1}))$ 且 $h$ 已有第二类伴生函数 $H$, $g_{\mathfrak{i}}$ 有第一类伴生函数 $G_{\mathfrak{i}}$, 取 $F=H(G_{\mathfrak{i}})$.

注意, 在函数复合的归纳步骤中我们使用的是第一类伴生函数, 但这并无妨碍, 因为我们归纳的命题足以临时把这个第一类伴生函数拿给我们.

因此, 若 $f$ 是归纳基本函数, 则 $f^{\prime \prime }$ 是算子基本函数. 对 $\mathfrak{n}$ 元归纳基本函数 $f$, 我们令 $\tilde{f}(x)$ 在 $x=(x_{\mathfrak{i}})$ 时取 $f(x_{\mathfrak{i}})$, 在其他时候取 $\varnothing$, 则 $\tilde{f}$ 同样是归纳基本函数; 因此 ${\tilde{f}}^{\prime \prime }$ 是算子基本函数. 特别地, $f(x_{\mathfrak{i}})=\bigcup {\tilde{f}}^{\prime \prime }(\{(x_{\mathfrak{i}})\})$ 也是算子基本函数.

$\square$

今后, 我们将把归纳基本函数和算子基本函数合称基本函数; 我们甚至额外得到一个定理.

元定理 2.3.0.5. 对某个类 $\phi$, 其判别函数 ${\chi }_{\phi }$(在 $\phi$ 成立时取 $\{\varnothing \}$, 不成立时取 $\varnothing$) 是基本的, 当且仅当它是 ${\Delta }_0$ 的.

证明. ${\Delta }_0$ 的类 $\phi$ 由引理有 ${\chi }^{\prime }$, 取 $\neg \neg \phi$ 的 ${\chi }^{\prime }$ 为 $\chi$, 不难验证它符合要求; 如果 $\chi$ 是基本的, 则它是可替的, 特别地有公式 $\chi =\{\varnothing \}$ 是 ${\Delta }_0$ 的.

$\square$

评注. 因此, 我们有时也把 ${\Delta }_0$ 的类称作基本类. 然而, 函数符号基本显然严格强于其图像 (或者换言之, 它作为一个类) 基本, 因此我们希望尽量避免这一称谓.

我们接着指出 $G{J}_0$ 的有穷公理化.

元定理 2.3.0.6. $G{J}_0$ 由外延公理、空集存在公理和诸基本算子存在公理共同给出有穷公理化.

证明. 我们只需证明每个由 $(rRep)$ 证明存在的集合事实上都可以用基本函数算出来. 注意到每个 $(rRep)$ 给出的 $t\in w$ 其实都是 $t_{\phi (u,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})}(x^{(\mathfrak{n}+1)})$ 的第 $\mathfrak{n}+1$ 层值域 (这个 $t$ 是分离子), 因此 $F:(v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})\mapsto t$ 是基础的, 进而由 Grandy-Jensen 引理有 $F^{\prime \prime }$ 在 $G{J}_0$ 中可证是 (算子) 基本函数, 因此有 $w=F^{\prime \prime }(x^{(\mathfrak{n})})$.

$\square$

这同样指出一个事实.

元定理 2.3.0.7. 传递集 $M$ 是 $G{J}_0$ 的模型, 当且仅当它对 $\mathcal{R}$ 中的每个函数符号封闭. 这种集合称作基本闭集.

这样, 我们大约能得到一个对函数符号要求的层谱: 基本性推出 $G{J}_0$ 可替性, 后者又推出 ${\Delta }_0$ 可定义性. Grandy 的反例指出, 基本性严格强于 $G{J}_{0}I$ 可替性, 且亦严格强于 ${\Delta }_0$ 可定义性, 其原理是基本性只能有穷地提升 ${\mathrm{rank}}_{\in }$, 但我们此处不再讨论.

为了与 $x$ 的基本闭包 (包含给定集合 $x$ 的最小的基本闭集) 区分, 我们称 $x$ 的后继的基本闭包为 $x$ 的基本闭后继包, 记为 $\mathrm{rud}(x)$. 在这一小节的最后, 我们来考察如何构造性地生成包含给定集合 $x$ 的后继的最小的基本闭集, 有三个方案.

定义 2.3.0.8. 定义以下三个基本函数, 记 $v=\mathrm{Succ}(u)$.

1.	(Jensen)${\mathbf{S}}_J(u)=v\cup {\bigcup }_{\mathfrak{i}=1,2,3,9}{\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}^{\prime \prime }(v^{(2)})\cup {\bigcup }_{\mathfrak{i}=4,5,6,7,8}{\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}^{\prime \prime }(v)$
2.	(Schindler-Zeman)${\mathbf{S}}_{SZ}(u)=v\cup {\bigcup }_{\mathfrak{i}=1,2,3,9}{\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}^{\prime \prime }(v^{(2)})\cup {\bigcup }_{\mathfrak{i}=4,5,6}{\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}^{\prime \prime }(v)\cup {\bigcup }_{\mathfrak{i}=1,13,14,...,19}{\mathcal{A}}_{\mathfrak{i}}^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 简记为 $\mathbf{S}$
3.	(Mathias)$\mathbf{T}(u)=v\cup {\bigcup }_{\mathfrak{i}=1,3}{\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}^{\prime \prime }(u^{(2)})\cup {\bigcup }_{\mathfrak{i}=4,5,6}{\mathcal{R}}^{\prime \prime }(u)\cup {\bigcup }_{\mathfrak{i}=2,9}\{\{u\cap {\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}(x,y)\}|x,y\in u\}\cup {\bigcup }_{\mathfrak{i}=7,8}\{\{u\cap {\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}(x)\}|x\in u\}\cup {\mathcal{A}}_{14}^{\prime \prime }(u^{(2)})$

这里新增的辅助基本函数如下.

1.	${\mathcal{A}}_{14}(x,y)=\{(b,a,c)|a\in x,(b,c)\in y\}$
2.	${\mathcal{A}}_{15}(x,y)=\{(b,c,a)|a\in x,(b,c)\in y\}$
3.	${\mathcal{A}}_{16}(x,y)=(y_{(2)}^{(0)},x,y_{(2)}^{(1)})$
4.	${\mathcal{A}}_{17}(x,y)=(y_{(2)}^{(0)},y_{(2)}^{(1)},x)$
5.	${\mathcal{A}}_{18}(x,y)=\{(y_{(2)}^{(0)},x),y_{(2)}^{(1)}\}$
6.	${\mathcal{A}}_{19}(x,y)=\{(y_{(2)}^{(0)},y_{(2)}^{(1)}),x\}$

要用它们生成集合 $x$ 的基本闭后继包, 我们相当于至少能证实它们每个操作进行 $\omega$ 次后全体计算结果能被包起来做成一个集合 (也就是递归计算), 这需要这个集合论足以施展第二基本递归 (见下文), 且能见证 $G{J}_0$ 的一致性. 我们此时暂且不考虑这些问题, 而是写出一系列元命题.

Jensen 的 ${\mathbf{S}}_J$ 在历史上最早出现. 它没有什么特别的性质, 就只是一个生成器而已.

元定理 2.3.0.9. $x\in \mathrm{rud}(u)$, 当且仅当有一个 (元) 自然数 $\mathfrak{n}$ 使得 $x\in {\mathbf{S}}_J^{(\mathfrak{n})}(u)$, 这里上标 (通过元递归定义) 是迭代次数.

证明. 先证当方向, 记 $v=\mathrm{Succ}(u)$. 如果基本闭集 $r\supseteq v$, 由基本闭集的定义当有 ${\mathbf{S}}_J(u)\subseteq r$, 进而 (元) 归纳可证对每个 $\mathfrak{n}$ 均有 ${\mathbf{S}}_J^{(\mathfrak{n})}(u)\subseteq r$.

要证明仅当方向, (元) 归纳不难证明 $\mathfrak{n}<\mathfrak{m}\to {\mathbf{S}}_J^{(\mathfrak{n})}(u)\subseteq {\mathbf{S}}_J^{(\mathfrak{m})}(u)$, 因此只需要证实每个 ${\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}$ 计算某个 ${\mathbf{S}}_J^{(\mathfrak{n})}(u)$ 中元素所得结果均在某个 ${\mathbf{S}}_J^{(\mathfrak{m})}(u)$ 之中, 然而这通过取 $\mathfrak{m}=\mathfrak{n}+1$ 即可实现.

$\square$

Schindler-Zeman 的 ${\mathbf{S}}_{SZ}$ 的好处是, 如果 $u$ 是传递的, 那么 ${\mathbf{S}}_{SZ}(u)$ 同样传递.

元定理 2.3.0.10. $x\in \mathrm{rud}(u)$, 当且仅当有一个 (元) 自然数 $\mathfrak{n}$ 使得 $x\in {\mathbf{S}}_{SZ}^{(\mathfrak{n})}(u)$. 如果 $u$ 传递, 则 ${\mathbf{S}}_{SZ}(u)$ 同样传递.

证明. 验证前一件事的过程完全同上, 注意 ${\mathcal{A}}_{14,15}$ 取代了 ${\mathcal{R}}_{7,8}$; 我们来证实后一件事. 如果 $t\in {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$ 且 $u$ 传递, 我们希望证实 $t\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$. 如果 $t\in v$ 则 $t=u\vee t\in u$, 由 $u$ 传递有 $t\subseteq u\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$, 验证其余情况.

1.	$t\in {\mathcal{R}}_1^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 则有 $x,y\in v$ 使得 $t=\{x,y\}$, 于是 $t\subseteq v\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
2.	$t\in {\mathcal{R}}_2^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 则有 $x,y\in v$ 使得 $t=x\times y$, 此时 $x,y\subseteq v$ 指出 $t\subseteq v^{(2)}={\mathcal{A}}_1^{\prime \prime }(v^{(2)})\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
3.	$t\in {\mathcal{R}}_3^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 则有 $x,y\in v$ 使得 $t=x\backslash y$, 此时 $t\subseteq x\subseteq v\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
4.	$t\in {\mathcal{R}}_9^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 则有 $x,y\in v$ 使得 $t=\{x^{\prime \prime }\{w\}|w\in y\}$, 于是任给 $s\in t$ 均有 $w\in y$ 使得 $s=x^{\prime \prime }\{w\}$, 由 $v$ 传递和 $w\in y\in v$ 知 $w\in v$, 于是 $s={\mathcal{A}}_{13}(x,w)\in {\mathcal{A}}_{13}^{\prime \prime }(v^{(2)})\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
5.	$t\in {\mathcal{R}}_4^{\prime \prime }(v)$, 则有 $x\in v$ 使得 $t=\bigcup x$, 于是任给 $s\in t$ 均有 $y\in x$ 使得 $s\in y$, 又注意 $v$ 传递和 $s\in y\in x\in v$ 知 $s\in v$, 因此 $t\subseteq v\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
6.	$t\in {\mathcal{R}}_5^{\prime \prime }(v)$, 则有 $x\in v$ 使得 $t=\mathrm{dom}(x)$, $t\subseteq \bigcup \bigcup x$, 而任给 $s\in \bigcup \bigcup x$ 存在 $a\in x,b\in a$ 使得 $s\in b$, 于是 $s\in b\in a\in x\in v$ 和 $v$ 传递指出 $s\in v$, 因此 $t\subseteq v\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
7.	$t\in {\mathcal{R}}_6^{\prime \prime }(v)$, 则有 $x\in v$ 使得 $t=\{(a,b)\in x|a\in b\}\subseteq x$, 于是 $t\subseteq x\subseteq v$, 因此 $t\subseteq v\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
8.	$t\in {\mathcal{A}}_1^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 则有 $x,y\in v$ 使得 $t=(x,y)$, 于是 $s\in t$ 当且仅当存在 $z=x$ 或 $z=y$ 使得 $s=\{x,z\}$, 无论如何 $s\in {\mathcal{R}}_1^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 因此 $t\subseteq {\mathcal{R}}_1^{\prime \prime }(v^{(2)})\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
9.	$t\in {\mathcal{A}}_{13}^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 则有 $x,y\in v$ 使得 $t=x^{\prime \prime }\{y\}$, 于是 $s\in t$ 当且仅当 $(s,y)\in x$, 于是 $s\in \{s\}\in (s,y)\in x\in v$, 因此 $t\subseteq v\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
10.	$t\in {\mathcal{A}}_{14}^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 则有 $x,y\in v$ 使得 $t=\{(b,a,c)|a\in x,(b,c)\in y\}$, 于是 $s\in t$ 当且仅当 $a\in x,d\in y,(b,c)=d,x\in v,y\in v$ 使得 $s=(b,a,c)=(d_{(2)}^{(0)},a,d_{(2)}^{(1)})={\mathcal{A}}_{16}(a,d)\in {\mathcal{A}}_{16}^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 因此 $t\subseteq {\mathcal{A}}_{16}^{\prime \prime }(v^{(2)})\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
11.	$t\in {\mathcal{A}}_{15}^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 则有 $x,y\in v$ 使得 $t=\{(b,c,a)|a\in x,(b,c)\in y\}$, 于是 $s\in t$ 当且仅当 $a\in x,d\in y,(b,c)=d,x\in v,y\in v$ 使得 $s=(b,c,a)=(d_{(2)}^{(0)},d_{(2)}^{(1)},a)={\mathcal{A}}_{17}(a,d)\in {\mathcal{A}}_{17}^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 因此 $t\subseteq {\mathcal{A}}_{17}^{\prime \prime }(v^{(2)})\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
12.	$t\in {\mathcal{A}}_{16}^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 则有 $x,y\in v$ 使得 $t=(y_{(2)}^{(0)},x,y_{(2)}^{(1)})$, 于是 $s\in t$ 当且仅当 $s=(y_{(2)}^{(0)},x)$ 或 $s={\mathcal{A}}_{18}(x,y)$; 如果前者则由 $y_{(2)}^{(0)}\in \bigcup y\in y\in v$ 得 $s\in {\mathcal{A}}_1^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 如果后者则 $s\in {\mathcal{A}}_{18}^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 因此无论如何 $t\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
13.	$t\in {\mathcal{A}}_{17}^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 则有 $x,y\in v$ 使得 $t=(y_{(2)}^{(0)},y_{(2)}^{(1)},x)$, 于是 $s\in t$ 当且仅当 $s=(y_{(2)}^{(0)},y_{(2)}^{(1)})$ 或 $s={\mathcal{A}}_{19}(x,y)$; 如果前者则由 $y_{(2)}^{(0)},y_{(2)}^{(1)}\in \bigcup y\in y\in v$ 得 $s\in {\mathcal{A}}_1^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 如果后者则 $s\in {\mathcal{A}}_{19}^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 因此无论如何 $t\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
14.	$t\in {\mathcal{A}}_{18}^{\prime \prime }(v^{(2)})$, 则有 $x,y\in v$ 使得 $t=\{(y_{(2)}^{(0)},x),y_{(2)}^{(1)}\}$, 于是 $s\in t$ 当且仅当 $s=(y_{(2)}^{(0)},x)$ 或 $s=y_{(2)}^{(1)}$, 于是 $s\in {\mathcal{A}}_1^{\prime \prime }(v^{(2)})$ 或 $s\in v$, 无论如何 $t\subseteq {\mathbf{S}}_{SZ}(u)$.
15.	${\mathcal{A}}_{19}$ 基本就是 ${\mathcal{R}}_1$.

$\square$

Mathias 的 $\mathbf{T}$ 则更加优秀, 它不但把传递集映到传递集, 而且一次只把 ${\mathrm{rank}}_{\in }$(如果能定义的话) 提升为其后继.

元定理 2.3.0.11. 若 $u$ 传递, 则 $x\in \mathrm{rud}(u)$ 当且仅当有一个 (元) 自然数 $\mathfrak{n}$ 使得 $x\in {\mathbf{T}}^{(\mathfrak{n})}(u)$, 且 $\mathbf{T}(u)$ 同样传递. 如果 ${\mathrm{rank}}_{\in }$ 可定义, 则对任意的 $u$, ${\mathrm{rank}}_{\in }(\mathbf{T}(u))=\mathrm{Succ}({\mathrm{rank}}_{\in }(u))$.

证明. 验证第一件事的过程略复杂, 因为计算结果并不一定在下一层立即出现; 我们直接指出 ${\mathcal{R}}_{1,3,4,5,6}$ 的结果都在 $\mathbf{T}(u)$ 中, ${\mathcal{R}}_9$ 的结果在 ${\mathbf{T}}^{(2)}(u)$ 中, ${\mathcal{R}}_2$ 的结果在 ${\mathbf{T}}^{(3)}(u)$ 中, ${\mathcal{R}}_{7,8}$ 的结果在 ${\mathbf{T}}^{(5)}(u)$ 中, 验证交由读者. 注意这些断言必须在 $u$ 传递的前提下进行证明.

证明传递集被映到传递集的过程同上啰嗦一番, 其中并无本质困难.

我们最后来考虑 ${\mathrm{rank}}_{\in }$ 的问题, 这里奥秘在于可能提升 ${\mathrm{rank}}_{\in }$ 的那些操作都被交了个 $u$, 从而并没有提升; 那一个 $\mathrm{Succ}$ 来自于 $v$ 自己和 ${\mathcal{R}}_1^{\prime \prime }$.

$\square$

这以一种更强的方式指出了基本函数只能有限地提升 ${\mathrm{rank}}_{\in }$.

元定理 2.3.0.12. 任给基本函数符号 $F$, 存在 (元) 自然数 $\mathfrak{l}$ 使得: 任给传递集 $u$ 和 $x_0,...,x_{\mathfrak{k}-1}\in u$, 总有 $F(x_0,...,x_{\mathfrak{k}-1})\in {\mathbf{T}}^{(\mathfrak{l})}(u)$.