2.3. Mahlo 基数与 Mahlo 阶

我们现在用定驻集的性质来重新刻画不可达基数, 并引入 Mahlo 基数的概念. 定驻集在以前也称作 Mahlo 集, 下述的 $Tr$ 以前也称作 Mahlo Operation.

定义 2.3.0.1. 我们引入 Jech 在定驻集上发现的一个良基严格偏序结构.

对任意不可数共尾的基数 $κ$ 的子集 $A \subseteq κ$ , 我们定义其迹 $Tr (A) = {α \in κ ∣ cf (α) > ω \land ⋃ α = α \land STAT_{α} (A \cap α)}$ . 进一步, 对 $κ$ 上的两个定驻集 $S, T$ , 我们定义序 $S < T$ 当且仅当 $T \ Tr (S)$ 不定驻.

我们首先要建立对

Tr

的直观.

定理 2.3.0.2. 任给 $κ$ 的子集 $A, B$ ,

1.	如果 $A \subseteq B$ , 则 $Tr (A) \subseteq Tr (B)$ .
2.	$Tr (A \cup B) = Tr (A) \cup Tr (B)$ .
3.	$Tr (A \cap B) = Tr (A) \cap Tr (B)$ .
4.	如果 $A \ B$ 不定驻, 则 $Tr (A) \ Tr (B)$ 也不定驻.
5.	$Tr (Tr (A)) \subseteq Tr (A)$ .
6.	如果 $λ < κ$ 正则, 则任取 $λ$ 个 $κ$ 的子集 $⟨ A_{α} ⟩_{α \in λ}$ , 令 $S_{> λ}^{κ} = {α \in κ ∣ cf (α) > λ}$ , 我们总有 $Tr (⋃_{α \in λ} A_{α}) \cap S_{> λ}^{κ} = ⋃_{α \in λ} (Tr (A_{α}) \cap S_{> λ}^{κ})$
7.	如果 $κ$ 正则, 则任取 $κ$ 个 $κ$ 的子集 $⟨ A_{α} ⟩_{α \in λ}$ , 令 $Reg (κ) = {α \in κ ∣ cf (α) = α}$ , 我们总有 $Tr (\nabla_{α \in κ} A_{α}) \cap Reg (κ) = \nabla_{α \in κ} (Tr (A_{α}) \cap Reg (κ))$

证明. 第一二三条显然, 第四条是因为若闭无界集 $C \subseteq κ$ 交 $A \ B$ 空, 则 $C \cap (Tr (A) \ Tr (B))$ 也空: $α \in C$ 时, $α \in Tr (A)$ 说明 $A \cap α$ 在 $α$ 内定驻, 但 $A \cap α = ((A \ B) \cap α) \cup ((A \cap B) \cap α)$ , 如果 $(A \ B) \cap α$ 在 $α$ 内定驻, 注意到 $α \in C$ 说明 $C \cap α$ 在 $α$ 内闭无界, 必有 $(C \cap (A \ B)) \cap α = \emptyset \cap α = \emptyset$ 在 $α$ 内定驻, 这不可能, 所以一定有 $A \cap B \cap α$ 在 $α$ 内定驻, 进而 $B \cap α$ 在 $α$ 内定驻, 换言之 $α \in Tr (B)$ .

第五条是这样的: 如果 $α$ 不属于 $Tr (A)$ , 我说它也不属于 $Tr (Tr (A))$ . 鉴于 $A \cap α$ 在 $α$ 中不定驻, 一定有 $α$ 内闭无界集 $C$ 满足 $A \cap C \cap α = \emptyset$ , 我们宣布 $Tr (A) \cap Der (C) \cap α = \emptyset$ (从而结论得证), 这是因为对 $γ \in Der (C) \cap α$ , 如果它是不可数共尾的极限序数, 那么 $C \cap γ$ 在 $γ$ 里也和 $A \cap γ$ 不交, 见证 $A \cap γ$ 在 $γ$ 中不定驻, 于是按定义 $γ \neq \in Tr (A)$ .

现在证明第六条. 记 $A = ⋃_{α \in λ} A_{α}$ , 只需证明 $Tr (A) \supseteq ⋃_{α \in λ} Tr (A_{α}) \supseteq Tr (A) \cap S_{> λ}^{κ}$ . 第一条从 $A_{α} \subseteq A$ 说明第一个 $\supseteq$ 成立, 我们来验证第二个 $\supseteq$ , 假定 $α \in Tr (A) \cap S_{> λ}^{κ}$ , 则 $α$ 是共尾大于 $λ$ 的 $κ$ 中元素, 且让 $A \cap α$ 在 $α$ 中定驻. 但 $A \cap α = ⋃_{β \in λ} A_{β} \cap α$ , 所以一定有个 $A_{β} \cap α$ 在 $α$ 中定驻, 这就证完了.

现在证明第七条. 记

A = \nabla_{α \in κ} A_{α}

, 还是来证

Tr (A) \supseteq \nabla_{α \in κ} Tr (A_{α}) \supseteq Tr (A) \cap Reg (κ)

. 余下细节与上条完全一样.

$□$

接下来我们证明之前提到的事, 即

定理 2.3.0.3. $<$ 是良基严格偏序.

证明. 传递性好做: 如果 $S < T$ 且 $T < R$ , 我们有 $T \ Tr (S)$ 和 $R \ Tr (T)$ 不定驻, 前者进一步说明 $Tr (T) \ Tr (Tr (S))$ 不定驻, 于是 $R \ Tr (S) = ((R \ Tr (T)) \ Tr (S)) \cup ((R \cap Tr (T)) \ Tr (S)) \subseteq (R \ Tr (T)) \cup (Tr (T) \ Tr (Tr (S)))$ (最后一步用到 $Tr (Tr (S)) \subseteq Tr (S)$ ) 不定驻.

为了验证非对称 (

S < T \to T \neq < S

), 注意

S < T \land T < S

将给出

... < S < T < S < ...

无穷链, 我们只需验证更强的良基性. 如果有无穷降链

S_{0} > S_{1} > ... > S_{n} > ...

, 取闭无界集

C_{n} \subseteq κ

见证

C_{n} \cap (Tr (S_{n + 1}) \ S_{n}) = \emptyset

, 换言之要求

C_{n} \cap S_{n} \subseteq Tr (S_{n + 1})

. 我们令

T_{n} = S_{n} \cap C_{n} \cap Der (C_{n + 1}) \cap Der (Der (C_{n + 2})) \cap ...

, 由于

κ

不可数共尾, 后面这可数个闭无界集的交还是闭无界的, 进而

T_{n}

总是定驻的. 不难验证现在总有

T_{n} \subseteq Tr (T_{n + 1})

, 于是令

α_{n} = ⋂ T_{n}

, 前文说明

T_{n + 1} \cap α_{n}

在

α_{n}

内定驻, 进而我们有

α_{n + 1} \in α_{n}

, 这就得到了一个序数无穷降链, 矛盾.

$□$

评注. 笔者甚至不知道怎样才能直接验证 $S \neq < S$ .

我们进而可以做以下定义.

定义 2.3.0.4. 对不可数共尾的基数 $κ$ , 在上述良基严格偏序下, 每个定驻集 $S \subseteq κ$ 都有显然的这个序下的秩, 我们直接称之为 $S$ 的阶, 记为 $o (S)$ . 特别地, 我们用 $o (κ)$ 来记这整个良基严格偏序的秩, 称为 $κ$ 的阶 ( $κ$ 作为定驻集的阶是 $0$ , 所以 $o (κ)$ 不可能指的是这么显然的信息). 进一步, 我们规定 $o (ω) = 0$ , 并对任意极限序数 $α$ 定义 $o (α) = o (cf (α))$ .

接下来研究

o

的性质, 我们固定不可数正则基数

κ

, 并引入如下概念.

定义 2.3.0.5. 对序数 $ν$ , 我们称满足下述要求的定驻集 $E_{ν}$ 为阶 $ν$ 的典范定驻集:

1.	对任何定驻集 $S \subseteq E_{ν}$ , $o (S) = ν$ .
2.	任给阶 $ν$ 的定驻集 $S$ , $S \cap E_{ν}$ 不空.

显然, 不可能有阶不小于 $o (κ)$ 的典范定驻集.

我们首先指出一些事实.

引理 2.3.0.6. $o (S \cup T) = min {o (S), o (T)}$ .

证明. 我们首先证明 $S \subseteq T$ 则 $o (S) \geq o (T)$ . 这是因为若 $R < T$ , 则 $T \ Tr (R)$ 不定驻, 于是其子集 $S \ Tr (R)$ 也不定驻, 换言之 $R < S$ .

这说明

o (S \cup T) \leq min {o (S), o (T)}

. 如果存在

S, T

使得

o (S \cup T) < min {o (S), o (T)}

, 不妨取让

o (S \cup T) = ν

最小的某组

S, T

, 换言之

o (S) > ν

且

o (T) > ν

. 于是有

X < S

和

Y < T

使得

o (S) > o (X) \geq ν

,

o (T) > o (Y) \geq ν

. 注意到

Tr (X \cup Y) = Tr (X) \cup Tr (Y)

, 我们有

(S \cup T) \ Tr (X \cup Y) = (S \ Tr (X)) \cup (T \ Tr (Y))

不定驻, 于是

X \cup Y < S \cup T

,

o (X \cup Y) < o (S \cup T) = ν

, 于是由

ν

最小当有

o (X \cup Y) = min {o (X), o (Y)} \geq ν = o (S \cup T)

, 矛盾.

$□$

定理 2.3.0.7. 在相差一个非定驻集的意义下, $E_{ν}$ 若存在则必唯一; 若 $ν \neq = μ$ , 则 $E_{ν} \cap E_{μ}$ 不定驻.

证明. 如果

E_{ν}^{1}

和

E_{ν}^{2}

都是阶

ν

的典范定驻集, 按定义

E_{ν}^{1}

与

E_{ν}^{2}

的每个定驻子集都交不空, 反之亦然. 如果

E_{ν}^{1} \ E_{ν}^{2} \subseteq E_{ν}^{1}

定驻, 则它要与

E_{ν}^{2}

有交, 直接矛盾, 所以

E_{ν}^{1} \ E_{ν}^{2}

(和对称的

E_{ν}^{2} \ E_{ν}^{1}

) 都不定驻. 类似的, 如果

ν \neq = μ

而

E_{ν} \cap E_{μ}

定驻, 则它须同时阶为

ν

和

μ

, 矛盾.

$□$

那么,

E_{ν}

到底存不存在呢? 我们先来建立一系列引理.

引理 2.3.0.8. 阶 $ν$ 的典范定驻集 $E_{ν}$ 存在, 当且仅当有阶 $ν$ 的定驻集 $M_{ν}$ 让任何阶等于 $ν$ 的定驻集在差一个非定驻集的意义下都是其子集.

此时, $M_{ν} = E_{ν} \cup Tr (E_{ν})$ , 而 $E_{ν} = M_{ν} \ Tr (M_{ν})$ , 我们还有下列式子在差一个不定驻集的意义下成立: $E_{ν} \cap Tr (E_{ν}) = \emptyset$ , $Tr (M_{ν}) \subseteq M_{ν}$ , 且 $Tr (E_{ν}) = Tr (M_{ν})$ .

证明. 首先假定 $E_{ν}$ 存在, 我们证明构造的这个 $M_{ν} = E_{ν} \cup Tr (E_{ν})$ 满足条件. 显然 $E_{ν} < Tr (E_{ν})$ , 故 $o (M_{ν}) = o (E_{ν}) = ν$ ; 下面任取一个阶大于 $ν$ 的定驻集 $S$ , 我们希望证明 $S \ M_{ν}$ 不定驻. 显然我们要考虑分解 $S = (S \cap E_{ν}) \cup (S \ E_{ν})$ , 前一部分在 $S \ M_{ν}$ 里面消失掉了, 所以我们不妨只关注 $S \ E_{ν}$ . 如果它已经不定驻了, $S \ M_{ν}$ 作为其子集当然也不定驻, 所以我们不妨假定 $S \ E_{ν}$ 定驻, 我们希望证明 $(S \ E_{ν}) \ Tr (E_{ν})$ 依旧不定驻. 基于 $E_{ν}$ 的第二条要求, 不难得知 $S \ E_{ν}$ 的阶必须大于 $ν$ . 我们首先指出以下事实.

引理 2.3.0.9. (如果 $E_{ν}$ 存在) $o (S) > ν$ 当且仅当 $S > E_{ν}$ .

证明. 只需证明仅当. 如果 $o (S) > ν$ , 我们先证明 $S \cap Tr (E_{ν})$ 不空. 如若不然, 我们不妨取 $o (S)$ 最小的一个反例 $S$ , 于是 $S \cap Tr (E_{ν}) = \emptyset$ 且 $o (S) > ν$ . 我们取 $T < S$ 让 $o (T) = ν$ , 然后来证明 $T \ (E_{ν} \cup Tr (E_{ν}))$ 是一个见证 $S$ 并不最小的反例. 首先, $T$ 分成三块, 除了我们意定的反例之外还有两块, 分别是 $T \cap E_{ν}$ 和 $T \cap Tr (E_{ν})$ . $T < S$ 翻译一下就是 $S \ Tr (T)$ 不定驻, 而它是 $S \ Tr (T \cap E_{ν})$ 、 $S \ Tr (T \cap Tr (E_{ν}))$ 和 $S$ 去掉我们意定的那个反例的 $Tr$ 这三个集的交: $T \cap E_{ν}$ 是 $E_{ν}$ 的子集, 所以 $Tr (T \cap E_{ν})$ 是 $Tr (E_{ν})$ 的子集, 与 $S$ 不交, 换言之 $S \ Tr (T \cap E_{ν}) = S$ ; 类似的, $Tr (T \cap Tr (E_{ν}))$ 是 $Tr (Tr (E_{ν}))$ 的子集, 而我们知道它还是是 $Tr (E_{ν})$ 的子集, 所以 $S \ Tr (T \cap Tr (E_{ν}))$ 还是等于 $S$ . 所以 $S \ Tr (T)$ 就是 $S$ 去掉我们意定的反例的 $Tr$ 所得的集, 它不定驻就说明确实有 $T \ (E_{ν} \cup Tr (E_{ν})) < S$ . 这就完成了矛盾.

现在证明

S > E_{ν}

. 我们要证明

T = S \ Tr (E_{ν})

不定驻, 所以反设其定驻,

T \subseteq S

说明

o (T) \geq o (S) > ν

, 所以上面的断言说

T \cap Tr (E_{ν})

不能空, 这与其定义显然矛盾.

$□$

回到一开始.

o (S \ E_{ν}) > ν

, 于是

S \ E_{ν} > E_{ν}

就说明

(S \ E_{ν}) \ Tr (E_{ν}) = S \ M_{ν}

不定驻, 这就是我们要的结论.

另一方面, 假定存在这样一个 $M_{ν}$ , 我们证明 $E_{ν} = M_{ν} \ Tr (M_{ν})$ 是阶为 $ν$ 的典范定驻集. 由于 $M_{ν} \neq < M_{ν}$ , $E_{ν} = M_{ν} \ Tr (M_{ν})$ 确实定驻, $E_{ν} \subseteq M_{ν}$ 说明 $o (E_{ν}) \geq ν$ , 而 $M_{ν} = E_{ν} \cup Tr (M_{ν})$ , 要是这里严格大于了, 显然 $M_{ν} < Tr (M_{ν})$ , 所以由上引理 $o (M_{ν})$ 也要大于 $ν$ , 矛盾. 下面还有两个事情要验.

一来要验 $S \subseteq E_{ν}$ 则 $o (S) = ν$ . $S \subseteq E_{ν}$ 已经说明 $o (S) \geq o (E_{ν}) = ν$ , 如果这里严格大了, 我们还是来取 $T < S$ 使得 $o (T) = ν$ . 由 $M_{ν}$ 的设定, $T \ M_{ν}$ 是不定驻的, 所以 $Tr (T) \ Tr (M_{ν})$ 还是不定驻的, 而 $T < S$ 说明 $S \ Tr (T)$ 不定驻, 所以 $S \ Tr (M_{ν}) \subseteq (S \ Tr (T)) \cup (Tr (T) \ Tr (M_{ν}))$ 不定驻, 但 $S$ 是定驻的, 所以 $S \cap Tr (M_{ν})$ 不应当空; 然而 $S \subseteq E_{ν}$ , 后者按定义和 $Tr (M_{ν})$ 交空, 这就矛盾了.

另一方面要验 $o (S) = ν$ 则 $S \cap E_{ν} \neq = \emptyset$ . 反设不然, 按 $M_{ν}$ 的要求至少有 $S \ M_{ν}$ 不定驻, 而 $S \cap E_{ν} = \emptyset$ 就说明那个集其实就是 $S \ Tr (M_{ν})$ , 所以它还是不定驻, 于是 $M_{ν} < S$ , 于是 $o (S) > ν$ , 这就矛盾了.

最后证实最后三个式子成立, 这只需要意识到它们在我们取定

E_{ν}

后用给出的方案构造

M_{ν}

后这三个式子是严格地成立的.

$□$

评注. 我们不妨将 $M_{ν}$ 称作最大的阶 $ν$ 的定驻集.

我们现在来证明它们的存在性.

定理 2.3.0.10. 只要 $ν < o (κ)$ 且 $ν < κ^{+}$ , 就有阶 $ν$ 的典范定驻集. 事实上, 如果 $λ$ 是第 $ν$ 个正则基数且 $λ < κ$ , 则 $E_{ν} = S_{λ}^{κ} = {α \in κ ∣ cf (α) = λ}$ .

证明. 对 $ν$ 归纳, 我们首先证明一个引理.

引理 2.3.0.11. $Tr (S_{λ}^{κ}) = S_{\geq λ^{+}}^{κ}$ .

证明.

S_{λ}^{α}

在

α

中定驻当且仅当

α

共尾数不小于

λ^{+}

.

$□$

奠基步, 验证 $E_{0} = S_{ω}^{κ}$ , 换言之 $M_{0} = S_{\geq ω}^{κ} = {α \in κ ∣ isLimOrd (α)}$ . 显然 $o (S_{λ}^{κ}) = 0$ , 于是 $o (S_{\geq ω}^{κ}) = 0$ , 只需验证 $o (S) = 0$ 则 $S \ S_{\geq ω}^{κ}$ 不定驻, 这甚至不需要 $o (S) = 0$ , 因为 $S_{\geq ω}^{κ}$ 显然是个闭无界集.

我们首先抽象地论证存在性.

1.

在后继步, 我们要用的构造是 $M_{ν + 1} = Tr (M_{ν})$ , 当然必须要有 $ν + 1 < o (κ)$ . 如果 $Tr (M_{ν})$ 不定驻, 则不可能有定驻集 $S$ 满足 $M_{ν} < S$ (否则 $S$ 是 $S \ Tr (M_{ν})$ 和 $Tr (M_{ν})$ 两个非定驻集的并), 但 $o (κ) > ν + 1$ 说明存在 $T < S$ 满足 $o (T) = ν, o (S) = ν + 1$ , 按照 $M_{ν}$ 的定义当有 $T \ M_{ν}$ 不定驻, 于是 $Tr (T) \ Tr (M_{ν})$ 不定驻, 但 $S \ Tr (T)$ 不定驻, 所以 $S \ Tr (M_{ν})$ 不定驻, $M_{ν} < S$ , 矛盾. 于是 $Tr (M_{ν})$ 是阶不小于 $ν + 1$ 的定驻集, 我们只需证明它是最大的阶 $ν + 1$ 的定驻集.

如果 $o (Tr (M_{ν})) > ν + 1$ , 假设 $T < S < Tr (M_{ν})$ 让 $o (T) = ν$ , 则 $T \ M_{ν}$ 不定驻, $Tr (T) \ Tr (M_{ν})$ 不定驻, 于是 $T < S$ 说明 $S \ Tr (T)$ 不定驻, 进而 $S \ Tr (M_{ν})$ 不定驻, $Tr (M_{ν}) < S$ , 这与 $S < Tr (M_{ν})$ 矛盾.

还要验证任给 $o (S) = ν + 1$ 的定驻集 $S$ , 总有 $S \ Tr (M_{ν})$ 不定驻. 同样只需取 $T < S$ 让 $o (T) = ν$ , 则 $T \ M_{ν}$ 不定驻, 仍有 $Tr (T) \ Tr (M_{ν})$ 不定驻, 进而 $S \ Tr (M_{ν})$ 不定驻.

2.

在极限步 $ν < κ$ , 我们要用的构造是 $M_{ν} = ⋂_{η \in ν} M_{η}$ , 仍然要有 $ν < o (κ)$ . 还是先来证明 $⋂_{η \in ν} M_{η}$ 定驻: 若不然, 则不可能有定驻集 $S$ 满足 $\forall η \in ν (M_{η} < S)$ , 否则 $S$ 让每个 $S \ Tr (M_{η})$ 都不定驻, 进而让每个 $S \ M_{η}$ 不定驻, 于是 $⋃_{η \in ν} (S \ M_{η}) = S \ ⋂_{η \in ν} M_{η}$ 不定驻, 于是 $S$ 不定驻, 矛盾. 但类似的由于 $ν < o (κ)$ , 存在 $S$ 和一列 $S_{η} (η \in ν)$ 使得 $o (S) = ν, o (S_{η}) = η, S_{η} < S$ 且 $η_{1} < η_{2} \to S_{η_{1}} < S_{η_{2}}$ , 于是由定义 $S_{η} \ M_{η}$ 不定驻, $Tr (S_{η}) \ Tr (M_{η})$ 不定驻, 进而 $S \ Tr (S_{η})$ 不定驻说明 $S \ Tr (M_{η})$ 不定驻, 所以最后 $M_{η} < S$ 对每个 $η$ 都是对的, 矛盾. 余下的论证完全同上同理.

3.

在极限步 $κ \leq ν < κ^{+}$ , 我们要用的构造是 $M_{ν} = Δ_{ξ \in κ} M_{η_{ξ}}$ , 这里 $η : κ \to ν, ξ \mapsto η_{ξ}$ 是 $κ$ 到 $ν$ 的一个双射, 仍然要有 $ν < o (κ)$ . 论证与上并无不同, 无非是改成 $κ$ 个非定驻集的对角并仍然非定驻.

最后只需发现从造出来这列

M_{ν}

里用构造提取出的

E_{ν}

恰好就是我们的

S_{λ}^{κ}

们, 或者说这些

M_{ν}

就是

S_{\geq λ}^{κ}

(

λ

还是第

ν

个正则基数).

$□$

一个显然的推论是:

定理 2.3.0.12. $o (κ) \geq κ$ 当且仅当 $κ$ 弱不可达.

证明. 如果

κ

弱不可达, 则对每个

ν < κ

, 第

ν

个正则基数和第

ν + 1

个正则基数都属于

κ

, 所以

κ

有定驻集

S_{λ}^{κ}

阶

ν

, 故

o (κ) \geq κ

. 反过来类似.

$□$

我们考虑下列定义.

定义 2.3.0.13. 如果正则不可数基数 $κ$ 下全体正则基数构成一 $κ$ 上定驻集, 则称 $κ$ 是一个弱 Mahlo 基数. 如果弱 Mahlo 基数 $κ$ 强极限, 则进一步称之为 Mahlo 基数.

显然它们仍通过

L

等一致, 我们首先证实 Mahlo 比不可达强.

定理 2.3.0.14. 弱 Mahlo 基数必弱不可达, 且其下弱不可达基数构成一定驻集. Mahlo 基数必不可达, 且其下不可达基数构成一定驻集.

证明. 验证弱 Mahlo 必弱不可达无非验证弱 Mahlo 必正则不可数极限, 正则不可数是定义, 极限则是因为后继基数下的正则基数显然不构成定驻集; 其下弱不可达基数构成定驻集无非是因为其下不可数极限基数构成闭无界集, 所以把它和定驻的正则基数集交一下还是定驻的.

验证 Mahlo 必不可达也是简单的, 而验证 Mahlo 下不可达基数构成定驻集无非是验证其下强极限基数构成闭无界集, 而这甚至不需要 Mahlo. 我们宣布不可达基数下的强极限基数构成闭无界集, 这是因为

(V_{κ}, \in)

认为每个序数的幂集都和某个序数双射, 所以其下有闭无界多个

α

也让

V_{α}

认为这件事正确 (反射原理), 而这句话是说

α

强极限.

$□$

我们类比不可达基数的反射原理给出 Mahlo 基数的反射原理.

定理 2.3.0.15. $κ$ 是 Mahlo 基数, 当且仅当任给 $A \subseteq V_{κ}$ 总有一个正则基数 $λ < κ$ 使得 $(V_{λ}, \in, A \cap V_{λ}) ≺ (V_{κ}, \in, A)$ , 当且仅当这些 $λ$ 都不可达且有定驻多. (注意, 不可达基数的版本中无法要求 $λ$ 正则, 所以可以有闭无界多)

证明. Mahlo 推出有定驻多的不可达

λ

是因为 Mahlo 下的不可达基数构成定驻集, 而 Mahlo 必不可达, 其下的反射

κ

的

α

有闭无界多. 显然定驻多的不可达

λ

推出有一个正则的

λ

, 我们用这个条件推导

κ

是 Mahlo 的. 我们逆用不可达的反射原理仍然立即发现

κ

不可达, 所以只要验证

κ

下的正则基数定驻多: 任取闭无界集

C \subseteq κ

, 我们令

(V_{κ}, \in, C)

反射到

λ

, 则

C \cap λ

在

λ

中无界, 所以

λ \in C

, 故任给闭无界集

C

都有正则基数

λ \in C

.

$□$

我们最后仍然用

o

刻画 Mahlo.

定理 2.3.0.16. $o (κ) \geq κ + 1$ 当且仅当 $κ$ 弱 Mahlo.

证明. 利用

Tr

的第七个性质.

$□$

那么,

o (κ)

最高可以取到多少呢? 遗憾的是, 它看起来 (除了

2^{κ}

之外) 没有自然的上界. 我们不妨定义

κ

巨大 (greatly)Mahlo 当且仅当

o (κ) \geq κ^{+}

, 这显然等价于说要求有一个

κ

完备非主正规滤子对

Tr

封闭, 而不难验证这也等价于

κ^{+} -

Mahlo(这个典范但没意思的套娃结构可以随便查到). 然而, 它们都被更强的大基数性质远远抛下 (例如, 接下来要提到的弱紧基数), 所以研究它们看起来并没有什么特别的意思.

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2.3. Mahlo 基数与 Mahlo 阶