3. 超幂构造与可测基数

作为超滤的应用, 我们来考虑超幂构造; 它的集合版本相当简单.

定义 3.0.1 ($ZFC$). 考察一集某语言 $\mathcal{L}$ 的结构 $\{{\mathcal{M}}_i|i\in I\}$. 给定一个指标集 $I$ 上超滤子 $U$, 我们定义如下 $\mathcal{L}$ 结构 $\mathcal{M}={\prod }_{i\in I}^{/U}{\mathcal{M}}_i$:

1.	$\mathcal{M}$ 的论域 $M$ 是 ${\prod }_{i\in I}{M}_i$ 商去以下等价关系 ${\sim }_U$ 所得集合: $f{\sim }_{U}g$ 当且仅当 $\{i\in I|f(i)=g(i)\}\in U$.
2.	$\mathcal{M}$ 对函数符号 $F$ 的解释是 $F([f_0],...,[f_n])=[f]$, 此处 $f$ 由 $f(i)=F^i(f_0(i),...,f_n(i))$ 确认.
3.	$\mathcal{M}$ 对关系符号 $P$ 的解释是: $P([f_0],...,[f_n])$ 为真当且仅当 $$\begin{gathered} \{i\in I|P^i(f_0 \\ (i),...,f_n(i))\}\in U \end{gathered}$$.

不难验证它一定是 $\mathcal{L}$ 结构.

进一步的归纳法指出以下事实.

定理 3.0.2 (Los 超幂定理). ${\prod }_{i\in I}^{/U}{\mathcal{M}}_i\models \sigma$ 当且仅当 $\{i\in I|{\mathcal{M}}_i\models \sigma \}\in U$.

事实上, Los 定理+超滤引理与 AC 等价, 因此要使用超幂模型非得用 $ZFC$ 不可. 当然, 简单的事实是使用 $i$ 产生的主超滤构造的超幂模型与 ${\mathcal{M}}_i$ 同构, 因此我们只关注非主超滤产生的东西.

然而, 它的真类版本就十分困难了. 要对某个类 $M$(我们此时当然不能对 “一集类” 超幂) 使用超幂构造, 我们当然需要先让它是一个 $ZFC$ 模型; 我们首先指出: $M\models ZFC$ 并非 $M\models ┌ZFC┐$, 因此宣称 $M\models ZFC$ 已经是一个定理模式 (而非一个定理) 了.

定义 3.0.3. 传递类 $M$ 在 $M\models ZF$ 和 $\mathbf{Ord}\subseteq M$ 时称为一个内模型.

因此, $\mathbf{V}$ 是最大的内模型 (当然没人会真的这样想), 而显然 $\mathbf{L}$ 是最小的内模型 (因为任何内模型都必须正确计算 $L$ 层级). 值得注意的是, 内模型对正确一无所知 (例如, 鉴于 $AC$ 的复杂度是 ${\Pi }_2$, 典范嵌入 $\mathbf{L}\to \mathbf{V}$ 在 $ZF$ 语境下就不是 ${\Sigma }_2$ 正确的; 今后我们还会发明让它 ${\Sigma }_1$ 不正确的语境). 我们对内模型的认识可以总结为一句元定理:

元定理 3.0.4. 任给内模型 $M$ 和含 $M$ 中参数的语句 $\phi$,

1.	如果 $\phi$ 是 ${\Delta }_1$ 的, 它对当且仅当 $M$ 认为它对;
2.	如果 $\phi$ 是 ${\Sigma }_1$ 的, $M$ 认为它对它就对;
3.	如果 $\phi$ 是 ${\Pi }_1$ 的, 它对时 $M$ 也认为它对.

证明是显然的.