3.1. 超幂构造与初等嵌入的初等理论

现在我们来考虑这样的 $M$ 对某个指标集 $I$ 上超滤子 $U$ 的超幂, 当然这仅意味着 $I,U$ 均属于 $M$ 且 $M$ 认为 $U$ 是个超滤; 这性质 ${\Pi }_1$, 所以有可能事实上 $U$ 并不是超滤.

定义 3.1.0.1. 定义 $M$ 对 $U$ 的超幂 $M^I/U$ 及附带的 $j^U:M\to M^I/U$ 如下:

1.	对每个 $M$ 中的函数 $f:I\to M$, 我们定义一个对应的集合 $[f{]}_U^0$ 放入 $M^I/U$ 之中; 它由全体秩取最小可能值的满足 $g{\sim }_{U}f$ 的 $M$ 中函数 $g:I\to M$ 构成 (因而是个属于 $M$ 的集), 此处等价关系由 $f{\sim }_{U}g$ 当且仅当 $\{i\in I|f(i)=g(i)\}\in U$ 定义.
2.	对每个 $x\in M$, 我们令 $j^U(x)$ 为集合 $[c_x{]}_U^0$, 此处 $c_x:I\to M$ 是恒等函数 $c_x(i)=x$.
3.	我们还要定义 $M^I/U$ 上的 $\in$ 关系的解释 ${\in }^U$, 显然此时应当令 $[f{]}_U^0{\in }^U[g{]}_U^0$ 当且仅当 $\{i\in I|f(i)\in g(i)\}\in U$.

评注. 证明 Los 定理+超滤引理与 AC 等价时, 对超幂结构的叙述也要如上操作, 这被称作 Scott’s Trick; 要求 $f:I\to M$ 也就是要求 $f\in M^I$, 但我们必须让 $M$ 知道整个过程, 因此我们额外要求了 $f\in M^I\cap M$.

为了详细分析这个定义, 我们指出:

元定理 3.1.0.2. $M^I/U$ 和 $j^U$ 都是由 $U$ 为参量在 $M$ 中 ${\Sigma }_2$ 可定义的.

证明. 对 $y\in M$, 按定义而言 $y\in M^I/U$ 当且仅当 ($M$ 认为)$\exists \alpha \exists I(I=\bigcup U\wedge \mathrm{isOrd}(\alpha )\wedge \forall f\in y({\mathrm{rank}}_{\in }(f)=\alpha \wedge \mathrm{isFun}(f)\wedge \mathrm{dom}(f)=I)\wedge \forall f_1\in y\forall f_2\in y\exists s\in U\forall i\in I(i\in s\leftrightarrow f_1(i)=f_2(i))\wedge \forall g\forall \beta \in \alpha ({\mathrm{rank}}_{\in }(g)=\beta \wedge \mathrm{isFun}(g)\wedge \mathrm{dom}(g)=I\to \forall f\in y\exists s\in U\forall i\in I(i\in s\leftrightarrow f(i)\ne g(i))))$, 而当 $x\in M$ 时, $y=j^U(x)$ 当且仅当 $\exists \alpha \exists I(I=\bigcup U\wedge \mathrm{isOrd}(\alpha )\wedge \forall f\in y({\mathrm{rank}}_{\in }(f)=\alpha \wedge \mathrm{isFun}(f)\wedge \mathrm{dom}(f)=I)\wedge \forall f\in y\exists s\in U\forall i\in I(i\in s\leftrightarrow f(i)=x)\wedge \forall g\forall \beta \in \alpha ({\mathrm{rank}}_{\in }(g)=\beta \wedge \mathrm{isFun}(g)\wedge \mathrm{dom}(g)=I\to \forall f\in y\exists s\in U\forall i\in I(i\in s\leftrightarrow f(i)\ne g(i))))$.

$\square$

我们同样有 Los 定理.

元定理 3.1.0.3 ($ZFC$). 对任何 (元) 公式 $\phi$ 和 $f_0,...,f_{\mathfrak{n}-1}\in M^I\cap M$, 我们都有: $(M^I/U,{\in }^U)$ 认为 $\phi ([f_0{]}_U^0,...,[f_{\mathfrak{n}-1}{]}_U^0)$ 成立, 当且仅当 $\{i\in I|M\models \phi (f_0(i),...,f_{\mathfrak{n}-1}(i))\}\in U$. 特别地, $j^U$ 是初等嵌入.

证明. 对 $\phi$ 的形状归纳.

1.	$(M^I/U,{\in }^U)$ 认为 $[f{]}_U^0=[g{]}_U^0$ 当且仅当 $\{i\in I|f(i)=g(i)\}\in U$, 而 $M$ 的 ${\Delta }_0$ 正确性说明这也当且仅当 $\{i\in I|M\models f(i)=g(i)\}\in U$.
2.	$\in$ 同理.
3.	$(M^I/U,{\in }^U)$ 认为 $\neg \phi ([f_0{]}_U^0,...,[f_{\mathfrak{n}-1}{]}_U^0)$ 当且仅当不认为 $\phi (...)$, 按归纳假设当且仅当 $\{i\in I|M\models \phi (f_0(i),...,f_{\mathfrak{n}-1}(i))\}$ 不属于 $U$, 按超滤定义当且仅当 $\{i\in I|M/\models \phi (f_0(i),...,f_{\mathfrak{n}-1}(i))\}\in U$, 当然当且仅当 $\{i\in I|M\models \neg \phi (f_0(i),...,f_{\mathfrak{n}-1}(i))\}\in U$.
4.	$\wedge$ 同理, 运用的仅是滤子的性质.
5.	$(M^I/U,{\in }^U)$ 认为 $\exists x(\phi (x,[f_0{]}_U^0,...,[f_{\mathfrak{n}-1}{]}_U^0))$, 当且仅当真的有个 $f$ 让它认为 $\phi ([f{]}_U^0,[f_0{]}_U^0,...,[f_{\mathfrak{n}-1}{]}_U^0)$, 归纳假设说这当且仅当真的有个 $f$ 让 $\{i\in I|M\models \phi (f(i),f_0(i),...,f_{\mathfrak{n}-1}(i))\}\in U$, 而有个 $f$ 等于对每个 $i$ 有 $f(i)$, 于是这就当且仅当 $\{i\in I|M\models \exists x(\phi (x,f_0(i),...,f_{\mathfrak{n}-1}(i)))\}\in U$.

$\square$

评注. 注意, 这是一个定理模式.

然而, 我们完全有可能获得一个非标准的 ${\in }^U$.

例 3.1.0.4. 任取 $\omega$ 上非主超滤 $U$, ${\mathbf{V}}^{\omega }/U$ 上定义的 ${\in }^U$ 莠基.

证明. 我们证明 $({\mathbf{V}}^{\omega }/U,{\in }^U)$ 具备非标准自然数模型.

1.	对每个自然数 $n\in \omega$, $({\mathbf{V}}^{\omega }/U,{\in }^U)$ 认为 $j^U(n)$ 仍是自然数.
2.	对 $\mathrm{id}:\omega \to \omega ,n\mapsto n$ 而言, $({\mathbf{V}}^{\omega }/U,{\in }^U)$ 认为 $[\mathrm{id}{]}_U^0$ 仍是自然数.
3.	对每个自然数 $n\in \omega$, $({\mathbf{V}}^{\omega }/U,{\in }^U)$ 认为 $j^U(n){\in }^U[\mathrm{id}{]}_U^0$.

这些断言用 Los 定理显然是对的, 而它们合起来就是我们想要的结果.

$\square$

我们需要额外条件让 ${\in }^U$ 良基, 从而能对 $(M^I/U,{\in }^U)$ 做坍塌.

定义 3.1.0.5. 如果一个超滤的可数子集的交仍属于此超滤, 就称这超滤可数完备或 ${\omega }_1$ 完备.

元定理 3.1.0.6 ($ZFC$). 若 $M$ 认为 $U$ 可数完备且 $M^{\omega }\subseteq M$, 则 ${\in }^U$ 良基.

证明. 反设 ${\in }^U$ 非良基, 则有 $\omega$ 长序列 $⟨f_n{⟩}_{n\in \omega }$ 使得 $[f_{n+1}{]}_U^0{\in }^U[f_n{]}_U^0$, 这就是说 $A_n=\{i\in I|f_{n+1}(i)\in f_n(i)\}\in U$, 而 $M^{\omega }\subseteq M$ 保证 $M$ 也看到 $⟨f_n{⟩}_{n\in \omega }$, 于是在 $M$ 之内运用替代公理模式得到 $⟨A_n{⟩}_{n\in \omega }$, 在 $M$ 之内用可数完备性得到 $A={\bigcap }_{n\in \omega }{A}_n\in U$ 不空; 取一个 $i\in A$ 就得到 $f_{n+1}(i)\in f_n(i)$, 与 $M$ 的 $\in$ 的良基性矛盾.

$\square$

今后把 $(M^I/U,{\in }^U)$ 坍塌后得到的东西记为 $\mathrm{Ult}(M,U)$, 我们不妨将 $\pi :M^I/U\to \mathrm{Ult}(M,U)$ 和 $j^U:M\to M^I/U$ 的复合记为 $j_U:M\to \mathrm{Ult}(M,U)$, 把 $\pi ([f{]}_U^0)$ 记为 $[f{]}_U$. Los 定理 (模式) 现可转述如下.

元定理 3.1.0.7 ($ZFC$). 任给公式 $\phi$ 和 $f_0,...,f_{\mathfrak{n}-1}\in M^I\cap M$, $\mathrm{Ult}(M,U)\models \phi ([f_0{]}_U,...,[f_{\mathfrak{n}-1}{]}_U)$ 当且仅当 $\{i\in I|M\models \phi (f_0(i),...,f_{\mathfrak{n}-1}(i))\}\in U$. 特别地, $j_U$ 是初等嵌入.

因此, $\mathrm{Ult}(M,U)\subseteq M$ 仍传递且满足 $ZF$; 接下来研究其中序数.

元定理 3.1.0.8. 如果内模型 $N\subseteq M$ 之间有初等嵌入 $j:M\to N$ 在 $\mathbf{Ord}$ 上恒等, 则 $j$ 恒等, 换言之 $M=N$.

证明. 若 $j$ 并不恒等, 我们不妨取秩最小的让 $j(x)\ne x$ 的集 $x$ 的秩 $\kappa$ 来证明 $j(\kappa )\ne \kappa$. 若不然, 鉴于 ${\mathrm{rank}}_{\in }$ 是 ${\Delta }_1$ 的, ${\mathrm{rank}}_{\in }(j(x))=j({\mathrm{rank}}_{\in }(x))=j(\kappa )=\kappa$, 所以任何 $y\in j(x)$ 都让 ${\mathrm{rank}}_{\in }(y)<\kappa$, 从而由假设有 $y=j(y)$, 于是 $y=j(y)\in j(x)$ 又说 $y\in x$, 于是 $j(x)\subseteq x$; 类似地可证 $x\subseteq j(x)$, 于是 $j(x)=x$, 与反设矛盾.

$\square$

定义 3.1.0.9. 因此, 对内模型 $N\subseteq M$ 之间的非平凡初等嵌入 $j:M\to N$, 我们记最小的让 $j(\kappa )\ne \kappa$ 的序数 $\kappa$ 为 $j$ 的关键点 $\mathrm{crit}(j)$.

我们指出以下事实.

元定理 3.1.0.10 ($ZFC$). $U$ 非主时 $j=j_U:M\to \mathrm{Ult}(M,U)$ 非平凡.

证明. 前者是因为 $M^I/U\subseteq M$, 而任何内模型都必须正确计算坍塌; 下面来证明后者. 假定 ${\mathrm{rank}}_{\in }(I)=\kappa$, 若任何秩小于 $\kappa$ 的 ($M$ 中) 集合都不被 $j$ 改变 (改变了更好: 我们直接就发现 $j$ 不平凡了), 我们来证明 $j(I)\ne I$.

我们注意到两个函数: 一个是 $c_I:I\to M,i\mapsto I$; 另一个是 $\mathrm{id}:I\to M,i\mapsto i$. 对每个 $i\in I$, 我们都已知 $j(i)=i$, 而 $j(I)=[c_I{]}_U$ 显然也总让 $i=j(i)\in j(I)$, 我们只需证明 $[\mathrm{id}{]}_U$ 不等于任何 $j(i)$ 但同样属于 $j(I)$ 即可证明 $I⊊j(I)$. 后者显然, 我们反证前者成立: 若有某特别的 $i\in I$ 让 $j(i)=[c_i{]}_U=[\mathrm{id}{]}_U$, 这就意味着 $\{k\in I|c_i(k)=\mathrm{id}(k)\}\in U$, 而前者是 $\{k\in I|i=k\}$ 也就是 $\{i\}$, 于是 $U$ 是 $i$ 生成的主超滤, 矛盾.

$\square$

推论 3.1.0.11 (Scott). $\mathbf{L}$ 中没有可数完备的非主超滤, 因此 $ZFC$ 不能证明此物存在.

证明. 否则由 $\mathbf{L}$ 是最小内模型我们必有 $\mathrm{Ult}(\mathbf{L},U)=\mathbf{L}$, 从而存在含 $\mathbf{L}$ 中参可定义的初等嵌入 $j:\mathbf{L}\to \mathbf{L}$. 最小可能的 $\mathrm{crit}(j)=\kappa$ 说, 我是最小的让某 $j$ 以我为关键点的序数 (注意这等价于说, 有一个 ${\mathrm{rank}}_{\in }$ 为我的集 $I$ 上有可数完备非主超滤, 所以确实是个句子); 于是 $j(\kappa )>\kappa$ 也这么说, 矛盾.

$\square$

我们给出一个上面最小 $\kappa$ 论证的推广.

元定理 3.1.0.12 (Suzuki,$ZF$). $M$ 中含参可定义的 $j:M\to \mathbf{V}$ 平凡.

证明. 这意味着: 任给一个候选的公式作为对非平凡的 $j$ 的解释时, 我们都能对应的找出另一个公式在 $ZF$ 中见证 $j$ 并不初等; 正因如此, 这是一个元定理而非 $ZF$ 定理.

我们不妨假定 $j(x)=y$ 由含参 $a$ 的公式 $\Phi (a,x,y)$ 定义, 这直接意味着 $ZF⊢\forall x\in M\exists y\forall z(z=y\leftrightarrow \Phi (a,x,z))$, 一个此前见过的论证可知 $j$ 不能移动 ${\omega }_1$ 之下的任何序数. 我们证明 $j$ 的初等性可由一个特别的公式荟萃:

引理 3.1.0.13. $j$ 初等当且仅当 $j$ 保持且反射 $\Psi (\alpha ,s,a)$, 后者是公式 $V_{\alpha }\models s[a]$, 这意味着在仅含一个变元符号的形式化公式 $s$ 中将那个变元符号替换为 $┌a┐$, 这允许我们将 $s$ 视作一个 (其 Godel 编码) 自然数.

证明. 这仍然是个元定理 (或定理模式), 这意味着任意出示一个公式 $\phi (a)$, 我们都有 $j$ 保持且反射 $\Psi$ 时 $j$ 也必然保持且反射 $\phi (a)$, 这里由于对复杂度没有要求我们可以典范地 (不妨) 设 $\phi$ 仅有 $a$ 一个变元符号. 任取解释让 $a$ 变为一个常元, 我们来证明 $M\models \phi (a)$ 当且仅当 $\mathbf{V}\models \phi (j(a))$.

对层级 $V_{\alpha }^M$ 使用广义反射原理, 我们得知有 (任意长, 从而不妨取)$\omega$ 长的序数列 $⟨{\beta }_n{⟩}_{n\in \omega }$ 满足如下要求:

1.	$a\in V_{{\beta }_0}^M$;
2.	$\forall n\in \omega (j({\beta }_n)\le {\beta }_{n+1})$;
3.	$\forall n\in \omega (M\models \phi (a)\leftrightarrow V_{{\beta }_n}^M\models \phi (a))$;
4.	$\forall n\in \omega (\phi (j(a))\leftrightarrow V_{{\beta }_n}\models \phi (j(a)))$.

取 $\beta ={\bigcup }_{n\in \omega }{\beta }_n$, 显然 $j(\beta )=\beta$ 且 $M\models \phi (a)\leftrightarrow V_{\beta }^M\models \phi (a)$ 且 $\phi (a)\leftrightarrow V_{\beta }\models \phi (a)$, 于是鉴于 $j$ 保持且反射 $\Psi$ 我们有:

$M\models \phi (a)$ 当且仅当 $V_{\beta }^M\models \phi (a)$ 也就是 $M\models (V_{\beta }\models \phi (a))$, 当且仅当 $M\models \Psi (\beta ,┌\phi ┐,a)$, 这根据假设当且仅当 $\mathbf{V}\models \Psi (j(\beta ),j(┌\phi ┐),j(a))$ 也就是 $\mathbf{V}\models \Psi (\beta ,┌\phi ┐,j(a))$, 后者翻译出来就是 $V_{\beta }\models \phi (j(a))$ 它当且仅当 $\phi (j(a))$ 确实对.

$\square$

我们现在来造矛盾. 鉴于我们正在假定初等嵌入非平凡, 我们除了 $\forall x\in M\exists y\forall z(z=y\leftrightarrow \Phi (a,x,z))$ 之外还至少手持以下性质:

1.	$\exists x\in M(\neg \Phi (a,x,x))$;
2.	$\forall x_1\forall y_1\forall x_2\forall y_2((\Phi (a,x_1,y_1)\wedge \Phi (a,x_2,y_2))\to (x_1\in x_2\leftrightarrow y_1\in y_2))$;
3.	$\forall \alpha \forall \beta \forall b\forall c\forall s((\Phi (a,\alpha ,\beta )\wedge \Phi (a,b,c))\to ({\Psi }^M(\alpha ,s,b)\leftrightarrow \Psi (\beta ,s,c)))$.

我们将以上四句话合取起来作为句子 ${\Phi }_0(a)$. 如果它是真的, $\Phi (a,x,y)$ 就会定义一个初等嵌入 $j_a$, 它有关键点, 且显然我们可以用一个公式对每个 $a$ 定义的 $j_a$ 唯一确认此 $\mathrm{crit}(j_a)$. 我们再次复刻最小关键点论证, 于是考虑句子 ${\Phi }_1(a)$ 为 ${\Phi }_0(a)\wedge \forall a^{\prime }({\Phi }_0(a^{\prime })\to \mathrm{crit}(j_a)\le \mathrm{crit}(j_{a^{\prime }}))$.

我们的假定说, $\exists a({\Phi }_0(a))$, 因此简单的论证说明 $\exists a({\Phi }_1(a))$. 不妨取一个这样特别的 $a$ 定义的 $j_a$ 的关键点 $\kappa =\mathrm{crit}(j_a)$. 鉴于 $j_a$ 初等, ${\Phi }_1(j(a))$ 也是对的, 所以 $\kappa =\mathrm{crit}(j_{j(a)})=j(\kappa )$, 立即矛盾.

$\square$

这个引理有一个更广为人知的形式.

元定理 3.1.0.14 (Gaifman). $ZF$ 内模型 $M,N$ 之间的 ${\Sigma }_1$ 初等嵌入 $j:M\to N$ 事实上完全初等, 这是因为 $\Psi$ 是 ${\Pi }_1$ 的.