1.3. 将连接写为乘积

虽然在上一节中, 我们提到可以使用算畴的包络来替代有色算畴, 以此使用对称幺半 $1$-范畴来描述我们所需要的相容性信息, 这符合我们对于将相容性视为额外的信息的想法.

但是当我们将这一切推广到一般的范畴时, 就会发现我们不得不写出一个对称幺半范畴来描述包络, 而对称幺半范畴也无法 “用手写下来”, 因此我们希望能够避免对于对称幺半结构的依赖性. 这是可行的, 因为我们实际上可以给出这样一种包络构造的变体: 此时无序组的无序连接变为范畴乘积, 此时就不需要再需要引入无序连接所给出的对称幺半结构.

1.3.1包络变体

注 1.3.1.1. 本节内容需要使用到伸展范畴 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$, 因此没有事先接触过这些内容的读者可先学完第 2 章, 而后再回来看这一节.

构造 1.3.1.2. 令 $\mathcal{O}$ 为有色算畴, 通过以下方式定义 $1$-范畴 ${\mathcal{O}}^{\otimes }$:

•	${\mathcal{O}}^{\otimes }$ 中对象为无序组 $\{x_i{\}}_{i\in I}$;
•	从 $\{x_i{\}}_{i\in I}$ 到 $\{y_j{\}}_{j\in J}$ 的态射为二元组 $(f,g,\{{\phi }_j{\}}_{j\in J})$: 其中, ∘ $(f,g)$ 表示伸展$$I\stackrel{f}{\leftarrow }K\stackrel{g}{\to }J,$$ ∘ 对于每个 $j\in J$, 都有多元态射 ${\phi }_j\in \mathcal{O}(\{x_{f(k)}{\}}_{k\in g^{-1}(\{j\})}$; 比如说, 对于 $f:\{1,\cdots ,5\}\to \{1,\cdots ,4\}$ 以及 $g:\{1,\cdots ,5\}\to \{1,2,3\}$, 且 $f(1)=f(5)=2$, $f(2)=1$, $f(3)=3$, $f(4)=4$, $g(2)=g(3)=g(5)=2$, $g(1)=g(4)=3$. 取 ${\phi }_1:(x_{f(2)},x_{f(3)})\to y_1$, ${\phi }_2:(x_{f(5)})\to y_2$, ${\phi }_3:(x_{f(1)},x_{f(4)})\to y_3$. 它们所表示出的态射即为此时中间一列 $x_i$ 向左侧的箭头表示 $f$, 而向右侧的箭头则表示 $g$.
•	$\{x_i{\}}_{i\in I}$ 的恒等映射为取 $f=g={\mathrm{id}}_I:I\to I$, 且取 ${\phi }_j={\mathrm{id}}_{x_j}$. 比如取 $I=\{1,2,3,4,5\}$, 那么恒等态射可表述为
•	$(f,g,\{{\phi }_j{\}}_{j\in J})$ 与 $(h,k,\{{\psi }_l{\}}_{l\in L})$ 的复合通过如下方式定义: 首先考虑 $(f,g)$ 与 $(h,k)$ 作为伸展的复合, 得到$$K{\times }_{J}MKMIJL.\text{┌}f\circ {\mathrm{pr}}_{K}k\circ {\mathrm{pr}}_{M}fghk$$[补例子与图]