2. 伸展范畴

在课上, Cnossen 使用伸展范畴来处理 $(\infty ,1)$-算畴结构 ¹. 因此本章先来谈谈何谓伸展范畴. 令 $\mathcal{C}$ 为带有拉回的范畴, 令 ${\mathcal{C}}_L$ 和 ${\mathcal{C}}_R$ 为 $\mathcal{C}$ 中关于态射复合以及拉回封闭的两族态射. 粗略来说, 三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 的伸展范畴 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 是指这样的结构

•	其对象与 $\mathcal{C}$ 无异;
•	从 $X$ 到 $Y$ 的态射定义为$$UXY{\mathcal{C}}_L\ni fg\in {\mathcal{C}}_R$$
•	态射 $X\leftarrow U\to Y$ 与 $Y\leftarrow V\to Z$ 的复合定义为如下拉回$$U{\times }_{Y}VUVXYZ.\text{┌}$$

本章的主要目的在于给出 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 的形式化描述.

脚注

1.	^ 我们将会看到, $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 的代数模式与 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 的代数模式一致, 因此所构造的算畴结构也应当是等价的.