1.2. 有色算畴的包络

注 1.2.0.1. 这一节的图是真的很难画, 手要敲冒烟了.

算畴实际上就是有色算畴的同伦版本, 我们将 ${\mathcal{O}}^{\simeq }$ 由集合换为生象, 并且将多元态射集合 $\mathcal{O}((y_1,\cdots ,y_n);x)$ 也由集合改成生象, 就得到了算畴. 但就像我们在引言中说的那样, 此时我们的高阶融贯性会有一些微妙的变化: 定义 1.1.2.1 所需的单位律与结合律变成了额外的信息 (因为此时需要指定同构来表达结合律与单位律), 而这些额外的信息又需要满足更高阶的融贯性.

虽然此时不能幻想我们能把所有的条件以公理的形式一条条写下来, 但是仍然有方式来绕过这些困难: 我们可以将有色算畴 $\mathcal{O}$ 所需的单位律, 结合律以及与置换律的信息重载为一个对称幺半 $1$-范畴 $\mathrm{Env}(\mathcal{O})$, 这一过程称为有色算畴的包络. 以下介绍如何将这些信息进行重载.

1.2.1算畴的包络

在有色算畴中, 我们对于有序组 $(y_1,\cdots ,y_n)\in ({\mathcal{O}}^{\simeq }{)}^n$ 定义了多元态射, 但实际上使用无序组来定义是更合适的.

定义 1.2.1.1.

•	集合 ${\mathcal{O}}^{\simeq }$ 中的无序组是指二元组 $(I,x)$, 其中 $I$ 为有限集且 $x:I\to {\mathcal{O}}^{\simeq }$ 表示一族以 $I$ 为指数的颜色 $x_i$. 常将无序组简写作 $\{x_i{\}}_{i\in I}$.
•	给定两个无序组 $\{x_i{\}}_{i\in I}$, $\{y_j{\}}_{j\in J}$, 可定义它们的无序连接为这样的 $(K,z)$: ∘ $K:=I\bigsqcup J$; ∘ $z:K\to {\mathcal{O}}^{\simeq }$, $z_i:=x_i$ 且 $z_j:=y_j$.

注 1.2.1.2. 不难给出任意有限个无序组的无序连接.

约定 1.2.1.3. 对于有色算畴 $\mathcal{O}$, 给定颜色 $x\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$ 以及无序组 $\{y_i{\}}_{i\in I}$, 可以通过固定双射 $f:I\simeq \{1,\cdots ,n\}$ 来定义从 $\{y_i\}$ 到 $x$ 的多元态射集$$\mathcal{O}(\{y_i{\}}_{i\in I};x):=\mathcal{O}((y_{f^{-1}(1)},\cdots ,y_{f^{-1}(n)});x).$$据此约定, 可类似给出 $\mathcal{O}$ 中使用无序组表达的多元态射集的复合$$-\circ -:\mathcal{O}(\{y_i{\}}_{i\in I};x)\times \prod _{i\in I}\mathcal{O}(\{z_j^i{\}}_{i\in J_i};y_i)\to \mathcal{O}(\{z_j^i{\}}_{(i,j)\in {\coprod }_{i\in I}{J}_i});x).$$那么此时, 置换同构就相当于在说对于每个双射 $\sigma :J\stackrel{\sim }{\to }I$, 都有同构$$\mathcal{O}(\{y_i{\}}_{i\in I};x)\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{O}(\{y_{\sigma (j)}{\}}_{j\in J};x).$$

因此, 我们可以给出使用无序组来描述的有色算畴.

定义 1.2.1.4. 令 $\mathcal{O}$ 为有色算畴. 通过以下方式定义对称幺半 $1$-范畴 $\mathrm{Env}(\mathcal{O})$:

•	其对象为 $\mathcal{O}$ 中颜色所构成的无序组 $\{x_i{\}}_{i\in I}$;
•	从 $\{x_i{\}}_{i\in I}$ 打向 $\{y_j{\}}_{j\in J}$ 的态射是指这样的二元组 $\Phi =(f,\{{\phi }_j{\}}_{j\in J})$: ∘ $f:I\to J$ 为有限集间的态射; ∘ 对于每个 $j\in J$, 都存在多元态射 ${\phi }_j\in \mathcal{O}(\{x_i{\}}_{i\in f^{-1}(\{j\})};y_j)$. 比如说当 $|I|=5$, $|J|=3$ 且 $f(1)=f(4)=3$, $f(2)=f(3)=1$, $f(5)=2$ 时, 可将态射表述为
•	$\{x_i{\}}_{i\in I}$ 的恒等态射定义为 $f={\mathrm{id}}_I:I\to I$, ${\phi }_j={\mathrm{id}}_{x_j}\in \mathcal{O}(\{x_i{\}}_{i\in \{j\}};x_j)$, 比如说在 $|I|=5$ 时可表述为:
•	给定态射 $\Phi =(f,{\phi }_j):\{x_i{\}}_{i\in I}\to \{y_j{\}}_{j\in J}$ 以及 $\Psi =(g,{\psi }_k):\{y_j{\}}_{j\in J}\to \{z_k{\}}_{k\in K}$. 它们的复合定义为 $\Psi \circ \Phi :=(h,{\xi }_k)$, 其中 $h:=g\circ f:I\to K$, 而对于每个 $k\in K$, 都有多元态射 ${\xi }_k\in \mathcal{O}(\{x_i{\}}_{i\in h^{-1}(k)};z_k)$, 它是 $({\psi }_k,({\phi }_j{)}_{j\in J_k})$ 在复合映射$$-\circ -:\mathcal{O}(\{y_j{\}}_{j\in g^{-1}(k)};z_k)\times \prod _{j\in g^{-1}(k)}\mathcal{O}(\{x_i{\}}_{i\in f^{-1}(\{j\})};y_j)\to \mathcal{O}(\{x_i{\}}_{i\in h^{-1}(k)};z_k)$$下的像. 比如说考虑 $\mathrm{Env}(\mathcal{C})$ 中态射以及那么它们的复合即为
•	事实上, $\mathrm{Env}(\mathcal{O})$ 的态射复合是满足有色算畴 $\mathcal{O}$ 的单位律和结合律.

$\mathrm{Env}(\mathcal{O})$ 的对称幺半结构由无序组的无序连接给出. 常将 $\mathrm{Env}(\mathcal{O})$ 称为 $\mathcal{O}$ 的包络 (在某些文献中, 如 [Haugseng, 2023], 会将其称为运算范畴).

例 1.2.1.5. 交换算畴 $\mathcal{C}omm$ 的包络 $\mathrm{Env}(\mathcal{C}omm)$ 即为有限集范畴 $\mathsf{Fin}$. 而此时无序连接无非是无交并.

例 1.2.1.6. 结合算畴 $\mathcal{A}ssoc$ 的包络 $\mathrm{Env}(\mathcal{A}ssoc)$ 是这样的对称幺半 $1$-范畴:

•	对象为有限集 $I$;
•	从 $I$ 到 $J$ 的态射为二元组 $(f,{⪯}_j)$: ∘ $f:I\to J$ 为映射; ∘ 对于每个 $\{j\}$ 的纤维 $f^{-1}(\{j\})$, 其上都配备有偏序 ${⪯}_j$;
•	对称幺半结构由无交并给出.

事实上, 取包络 $\mathrm{Env}:\mathcal{O}\mapsto \mathrm{Env}(\mathcal{O})$ 具有函子性, 即对于每个算畴态射 $\mathcal{O}\to \mathcal{P}$, 都诱导出函子 $\mathrm{Env}(\mathcal{O})\to \mathrm{Env}(\mathcal{P})$.

1.2.2为何考虑包络

不难发现, 包络构造的优点在于此时我们可以将有色算畴 $\mathcal{O}$ 中多元态射复合的的单位律与结合律条件重载为一个具体的 $1$-范畴中态射复合的单位律与结合律. 这种方式就可以将算畴的定义从 $1$-范畴推广至一般的范畴 (即 $(\infty ,1)$-范畴) 中.

不过目前还需要处理一个问题: 什么样的对称幺半 $1$-范畴 $\mathcal{C}$ 会是 $\mathrm{Env}(\mathcal{O})$? 为此, 我们先观察 $\mathrm{Env}(\mathcal{O})$ 所具有的三个重要性质:

1.	包络结构自动带有对称幺半函子 $p:\mathrm{Env}(\mathcal{O})\to \mathsf{Fin}$. 此时 $\mathcal{O}$ 中的颜色恰为映至单点集 $\{i\}$ 的对象;
2.	给定对象 $X\in \mathrm{Env}(\mathcal{O})$, 如果 $p(X)=I$, 那么 $X$ 可写为一些颜色 $x_i\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$ 所成的无序组 $\{x_i{\}}_{i\in I}$. 类似地, 纤维 $p^{-1}(I)$ 中态射即为以 $I$ 为指标的无序组间的态射 $\{f_i:x_i\to y_i{\}}_{i\in I}$. 换句话说, $I$ 上的纤维是 $I$ 份单点集的乘积;
3.	打到无序组 $\{y_j{\}}_{j\in J}$ 的态射由打到对应的 $1$ 元组的态射所唯一确定: 即考虑两个无序组 $\{x_i{\}}_{i\in I}$ 与 $\{y_j{\}}_{j\in J}$, 映射$${\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Env}(\mathcal{O})}(\{x_i{\}}_{i\in I},\{y_j{\}}_{j\in J})\stackrel{p}{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Fin}}(I,J)$$在 $f:I\to J$ 上的纤维可表为乘积$$\prod _{i\in I}{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Env}(\mathcal{O})}(\{x_i{\}}_{i\in f^{-1}(\{j\})},y_j).$$

不难发现以上三个条件确实可以识别出算畴的包络: 带有对称幺半函子 $p:\mathcal{C}\to \mathsf{Fin}$ 的对称幺半 $1$-范畴 $\mathcal{C}$ 是某个有色算畴 $\mathcal{O}$ 的包络当且仅当其满足 2. 与 3. 的类似条件, 证明可在 [Haugseng, 2023, Proposition 2.2.11]:

2’.	对于每个有限集 $I$, $\mathcal{C}$ 中张量积给出范畴等价$$\prod _{i\in I}{\mathcal{C}}_{\{i\}}\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{C}}_I,$$此处 ${\mathcal{C}}_I$ 是指 $I$ 的纤维;
3’.	对于任意有限多个有限集 $(I_j{)}_{j\in J}$, 以及 $X_j\in p^{-1}(I_j)$, $y_j\in p^{-1}(\{j\})$, 都有拉回图表$${\prod }_{j\in J}{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X_j,y_j){\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}({⨂}_{j\in J}{X}_j,{⨂}_{j\in J}{y}_j)\ast {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Fin}}({\coprod }_{j\in J}{I}_j,J)\text{┘}{⨂}_{j\in J}$$此处底部态射的像为由 $I_j\to \ast$ 所诱导的态射 ${\coprod }_{j\in J}{I}_j\to {\coprod }_{j\in J}\ast \simeq J$.

最后, 来说明此时 $\mathcal{C}$ 会对应于什么样的 $\mathcal{O}$:

•	${\mathcal{C}}^{\simeq }:=p^{-1}(\{\ast \})$.
•	对于 $x,y_1,\cdots ,y_n\in {\mathcal{O}}^{\simeq }$, 有$$\mathcal{O}((y_1,\cdots ,y_n);x):={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(y_1\otimes \cdots \otimes y_n,x).$$