4.1. 定义

4.1.1定义与例子

由于我们的目的是只保留惰性态射与活性态射来刻画代数结构, 因此首先我们需要引入分解系统的概念.

定义 4.1.1.1 (分解系统). 范畴 $\mathcal{C}$ 的分解系统指其一对宽子范畴 $({\mathcal{C}}^L,{\mathcal{C}}^R)$, 且对 $\mathcal{C}$ 中任意态射 $f:x\to y$, 空间$$\{(g:x\to z,h:z\to y)\mid g\in {\mathcal{C}}^L,h\in {\mathcal{C}}^R,h\circ g=f\}$$为可缩.

定义 4.1.1.2 (代数模式). 代数模式指范畴 $\mathcal{O}$ 附带分解系统 $({\mathcal{O}}^{惰},{\mathcal{O}}^{活})$ 以及 ${\mathcal{O}}^{惰}$ 的全子范畴 ${\mathcal{O}}^{初}$. ${\mathcal{O}}^{惰}$、${\mathcal{O}}^{活}$ 中的映射分别称为惰性映射、活性映射, ${\mathcal{O}}^{初}$ 中的对象称为初等对象.

注 4.1.1.3. 事实上, 初等对象也可称为生成元. 我们通过选取合适的初等对象来得到合适的代数结构.

不难看出, 代数模式是一种强调分解系统的产物, 接下来我们给出一堆代数模式的例子.

例 4.1.1.4. 令 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 为带点有限集范畴, 其内对象形如 $I_{+}:=(\{I,0\},0)$, 即有限集 $I$ 的带点化, 方便期间, 考虑其骨架范畴, 即对象为 ${⟨n⟩}_{+}$ 的情况. 则 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 可通过以下两种初等对象的选择变为代数模式:

•	${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的惰性态射是 “缩减定义域” 的态射 $\phi :{⟨n⟩}_{+}\to {⟨m⟩}_{+}$, 即 $\phi$ 限制在 ${⟨n⟩}_{+}\setminus {\phi }^{-1}(0)$ 上为同构;
•	${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的活性态射是 “定义域为全部” 的态射 $\phi :{⟨n⟩}_{+}\to {⟨m⟩}_{+}$, 即 ${\phi }^{-1}(0)=\{0\}$;
•	${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 中的初等对象为单点集 $(\{0\},0)$(将该代数模式记为 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$), 或取为 $(\{0\},0)$ 和 $(\{0,1\},0)$(将对应代数模式记为 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♮}$).

例 4.1.1.5. 给定饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 以及全子范畴 ${\mathcal{C}}_0\subset {\mathcal{C}}_L$, 则将 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 可通过以下方式变为代数模式:

•	${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 中的惰性态射由后向态射类 ${\mathcal{C}}_L$ 给出;
•	${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 中的活性态射由前向态射类 ${\mathcal{C}}_R$ 给出;
•	${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 中的初等对象定义为 ${\mathcal{C}}_0$.

由于初等对象是任选的, 因此将该代数模式记为 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_0)$.

从而可在 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 上定义代数模式, 只需将初等对象定义为 $⟨1⟩$ 即可.

注 4.1.1.6. 以下将说明 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$ 与 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 所表现出的信息是一致的 (均为 $\mathcal{C}omm$), 将它们都称为交换代数模式.

例 4.1.1.7. 考虑单形范畴的反范畴 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$, 它可以通过以下两种初等对象的选择变为代数模式:

•	${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 中的惰性态射是 “区间含入” 态射的反态射, 即全序集 $I$ 到全序集 $J$ 的惰性映射为 $J$ 到 $I$ 的保序单射, 满足对 $I$ 中元素 $i^{\prime }\le i\le i^{\prime \prime }$, 只要 $i^{\prime }$ 和 $i^{\prime \prime }$ 在 $J$ 的像中, $i$ 就也在 $J$ 的像中;
•	${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 中的活性态射是 “保持端点” 态射的反态射, 即全序集 $I$ 到全序集 $J$ 的活性映射为 $J$ 到 $I$ 的保序映射, 把 $\min J$ 和 $\max J$ 映到 $\min I$ 和 $\max I$;
•	${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 中的初等对象为二元集 $[1]$(将该代数模式记为 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$) 或取为 $[0]$ 和 $[1]$(将该代数模式记为 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♮}$).

注 4.1.1.8.

•	我们将 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$ 称为结合代数模式, 我们将发现它其实是 $\mathcal{A}ssoc$;
•	将 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♮}$ 称为 Segal 代数模式, 我们将发现它编码了 Segal 条件.

例 4.1.1.9. 考虑仰范畴 ${\mathsf{Fin}}_{\ast ,{⟨1⟩}_{+}/}$, 它可以通过以下方式构成代数模式: 考虑函子 $p:{\mathsf{Fin}}_{\ast ,{⟨1⟩}_{+}/}\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$,

•	${\mathsf{Fin}}_{\ast ,{⟨1⟩}_{+}/}$ 中的惰性态射是使得 $p(f)$ 为 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$ 中惰性态射的态射 $f$;
•	${\mathsf{Fin}}_{\ast ,{⟨1⟩}_{+}/}$ 中的活性态射是使得 $p(g)$ 为 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$ 中活性态射的态射 $g$;
•	${\mathsf{Fin}}_{\ast ,{⟨1⟩}_{+}/}$ 中的初等对象定义为以下两种 ${⟨1⟩}_{+}\to {⟨1⟩}_{+}$, 分别为 ${\mathrm{id}}_{{⟨1⟩}_{+}}$ 以及 ${⟨1⟩}_{+}\to \{0\}\subseteq {⟨1⟩}_{+}$.

注 4.1.1.10. 称该代数模式为交换模模式, 至于如何看出其为交换模我们将在后文说明.

例 4.1.1.11. 考虑范畴 $({\mathbb{\Delta }}_{/[1]}{)}^{\mathrm{op}}$, 它通过以下三种初等对象的选择构成代数模式: 考虑函子 $p:({\mathbb{\Delta }}_{/[1]}{)}^{\mathrm{op}}$

•	$({\mathbb{\Delta }}_{/[1]}{)}^{\mathrm{op}}$ 中的惰性态射是使得 $p(f)$ 为 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$ 中惰性态射的态射 $f$;
•	$({\mathbb{\Delta }}_{/[1]}{)}^{\mathrm{op}}$ 中的活性态射是使得 $p(g)$ 为 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$ 中活性态射的态射 $g$;
•	至于初等对象, 我们考虑以下三种 $[1]\to [1]$, 分别为 $[1]\to \{0\}\subseteq [1]$, $[1]\to \{1\}\subseteq [1]$ 以及 ${\mathrm{id}}_{[1]}$: ∘ 选取 $[1]\to \{0\}\subseteq [1]$ 以及 ${\mathrm{id}}_{[1]}$ 为初等对象时称为左模模式, 记为 $\mathcal{LM}$; ∘ 选取 $[1]\to \{1\}\subseteq [1]$ 以及 ${\mathrm{id}}_{[1]}$ 为初等对象时称为右模模式, 记为 $\mathcal{R}\mathcal{M}$; ∘ 选取以上三个态射均为初等对象时, 称为双模模式, 记为 $\mathcal{BM}$.

注 4.1.1.12. 在后文中, 我们将看到以上三种模式与三种模的对应关系.

例 4.1.1.13. 所有的算畴均为代数模式.

4.1.2Segal 对象

代数模式的代数二字就在于其确实能够编码出代数结构, 不过尊重 [Chu and Haugseng, 2021] 的术语, 我们将编码出的对象称为 Segal 对象.

还是跟前文一样, 我们将惰性态射视为记录乘法信息的东西, 将初等对象视为该代数结构的 “生成元”, 因此可知代数

定义 4.1.2.1. 设 $\mathcal{O}$ 为代数模式, $\mathcal{C}$ 为范畴. 则 $\mathcal{C}$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象是指函子 $X:\mathcal{O}\to \mathcal{C}$, 满足对于任意 $o\in \mathcal{O}$, $X$ 将图表 $o\to {\mathcal{O}}_{o/}^{初}$ 打到极限图表, 换言之$$X(o)=\underset{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{初}}{\lim }X(e).$$

注 4.1.2.2.

•	常称 $\mathsf{Ani}$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象为 Segal $\mathcal{O}$-生象;
•	常称 $\mathsf{Cat}$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象为 Segal $\mathcal{O}$-范畴;
•	对于对称幺半范畴 $\mathcal{C}$, 考虑其对应的多元态射算畴 ${\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}$, 不难发现 ${\mathcal{M}}_{\mathcal{C}}$ 中的多元态射算畴即为 $\mathcal{O}$-代数 (当 $\mathcal{O}$ 为算畴时).

注 4.1.2.3. 不难计算得到, ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_0)$ 的 Segal 对象为以下函子 $X$ $$X(o)\simeq \underset{(e\to o)\in (({\mathcal{C}}_0{)}_{/o}{)}^{\mathrm{op}}}{\lim }X(e)$$其中 $({\mathcal{C}}_0{)}_{/o}\simeq {\mathcal{C}}_0{\times }_{{\mathcal{C}}_L}({\mathcal{C}}_L{)}_{/o}$.

当取交换代数模式 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 时, Segal 对象即为交换幺半群, 当我们取 $\mathcal{D}$ 为对称幺半范畴, 则 ${\mathcal{M}}_{\mathcal{D}}$ 上的 Segal $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$-对象即为交换代数.

我们还可以给出 $\mathcal{O}$-幺半范畴的推广, 仍然尊重文献中的术语, 称其为 Segal 纤维化.

定义 4.1.2.4 (Segal 纤维化). 设 $\mathcal{O}$ 是代数模式. 称函子 $\mathcal{E}\to \mathcal{O}$ 为 Segal 纤维化, 指其首先是推出纤维化, 其次其直化 $\mathcal{O}\to \mathsf{Cat}$ 是 Segal $\mathcal{O}$-范畴, 即 $\mathsf{Cat}$ 中的 Segal $\mathcal{O}$-对象. 此时 $\mathcal{E}$ 自然带有 $\mathcal{O}$ 上代数模式结构如下:

•	取 ${\mathcal{E}}^{惰}$ 为 ${\mathcal{O}}^{惰}$ 上的余笛卡尔映射;
•	取 ${\mathcal{E}}^{活}$ 为 ${\mathcal{O}}^{活}$ 上的映射;
•	取 ${\mathcal{E}}^{初}$ 为 ${\mathcal{O}}^{初}$ 在 ${\mathcal{E}}^{惰}$ 中的原像.

此时如 $\mathcal{P}\to \mathcal{O}$ 是 $\mathcal{O}$ 上的代数模式, 则可定义 Segal $\mathcal{O}$-范畴 $\mathcal{E}$ 上的 $\mathcal{P}$-代数为 $\mathcal{O}$ 上的代数模式映射 $\mathcal{P}\to \mathcal{E}$.

术语翻译

代数模式 • 英文 algebraic pattern

初等对象 • 英文 elementary object