4.2. 代数模式上的算畴

本节的主要目的是介绍代数模式上的算畴的概念, 这是对于 Segal 纤维化的弱化.

4.2.1Segal 弱纤维化

定义 4.2.1.1. 令 $\mathcal{O}$ 为代数模式. $\mathcal{O}$ 上的弱 Segal 纤维化 (或称 $\mathcal{O}$-算畴) 是指函子 $p:\mathcal{P}\to \mathcal{O}$, 满足:

1.	对于 $\mathcal{O}$ 中所有惰性态射, $\mathcal{P}$ 上均存在相应 $p$-推出提升;
2.	对于 $X\in \mathcal{O}$, 由惰性态射所诱导的函子$${\mathcal{P}}_X\to \underset{E\in {\mathcal{O}}_{X/}^{初}}{\lim }{\mathcal{P}}_E$$为同构;
3.	令 $\overline{X}$ 为 ${\mathcal{P}}_X$ 中对象, $\overline{Y}$ 为 ${\mathcal{P}}_Y$ 中对象. 对于每个 $\mathcal{O}$ 中态射 $\varphi :Y\to X$, 都有自然同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{P}}^{\varphi }(\overline{Y},\overline{X})\stackrel{\sim }{\to }\underset{(X\stackrel{\alpha }{\to }E)\in {\mathcal{O}}_{X/}^{初}}{\lim }{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{P}}^{\alpha \circ \varphi }(\overline{Y},{\alpha }_{!}\overline{X}).$$

由于我们关注的是算畴, 所以以下将 $\mathcal{O}$ 上的弱 Segal 纤维化称为 $\mathcal{O}$-算畴, 并将全体 $\mathcal{O}$-算畴构成的范畴记为 $\mathsf{Op}(\mathcal{O})$.

例 4.2.1.2. 当取 $\mathcal{O}=\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 时, 不难看出上述定义与命题 3.1.1.6 所述定义的等价性 (可能需要结合注 3.1.1.7). 因此 $\mathsf{Op}(\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}))=\mathsf{Op}$.

例 4.2.1.3. 当取 $\mathcal{O}={\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$ 时, $\mathsf{Op}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭})$ 就是 [Lurie, 2017, Definition 4.1.3.2] 所述的平面算畴.

例 4.2.1.4. 当取 $\mathcal{O}={\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}$ 时, $\mathsf{Op}({\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭})$ 即为 [Lurie, 2017, Definition 2.1.1.10] 所述的算畴, 在 Cnossen 的课上将其记为 ${\mathsf{Op}}^{\mathrm{Lurie}}$.

4.2.2比较定理

以下比较 Lurie 版本的算畴与 Cnossen 版本的算畴.

首先观察到有范畴等价$${\mathsf{Fin}}_{\ast }\simeq {\mathsf{Span}}_{单态射,全体态射}(\mathsf{Fin}).$$因此有自然的嵌入$${\mathsf{Fin}}_{\ast }\simeq {\mathsf{Span}}_{单态射,全体态射}(\mathsf{Fin})\stackrel{i}{\hookrightarrow }\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}).$$

引理 4.2.2.1. 令 $\mathcal{O}\in \mathsf{Op}(\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}))$ 为算畴, 则其沿 $i$ 的拉回得到的函子 $p_{\mathcal{P}}:{\mathcal{P}}^{\otimes }:={\mathcal{O}}^{\otimes }{\times }_{\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})}{\mathsf{Fin}}_{\ast }\to {\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 会是 Lurie 版本的算畴, 即 $p_{\mathcal{P}}\in \mathsf{Op}({\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭})$. 特别地, $i$ 诱导出一个遗忘函子$$i^{\ast }:\mathsf{Op}(\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}))\to \mathsf{Op}({\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}).$$

证明. 留作习题.

$\square$

定理 4.2.2.2 ([Barkan et al., 2024, Corollary 5.1.15]). $i$ 诱导出范畴等价$$\mathsf{Op}(\mathsf{Span}(\mathsf{Fin}))\simeq \mathsf{Op}({\mathsf{Fin}}_{\ast }^{♭}).$$

因此 Lurie 版本的算畴与 Cnossen 版本的算畴是一致的.

术语翻译

Segal 弱纤维化 • 英文 Segal weak fibration

平面算畴 • 英文 planar operad