降阶乘

降阶乘是指形如$$x^{\underline{n}}=x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdots (x-n+1)$$的表达式, 其中 $n$ 是自然数, 而 $x$ 可以是任意复数, 或是一般的环中的元素. 注意到这一乘积中共有 $n$ 项.

在计数组合中, 也将降阶乘称为排列数, 因为对自然数 $n,k$ 而言, 降阶乘 $n^{\underline{k}}$ 是从 $n$ 个不同物品中选出 $k$ 个, 并将它们排成一列的方法数. 此时, 也将 $n^{\underline{k}}$ 记为 ${\mathrm{P}}_n^k$ 或 $\mathrm{P}(n,k)$.

1定义

定义 1.1. 对复数 $x$ 和自然数 $n$, 定义降阶乘$$x^{\underline{n}}=x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdots (x-n+1).$$特别地, 当 $n=0$ 时, 我们约定 $x^{\underline{0}}=1$.

2性质

基本性质

•	对自然数 $k\le n$, 有$$n^{\underline{k}}=\frac{n!}{(n-k)!}.$$

•	对复数 $n$ 和自然数 $k$, 二项式系数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n^{\underline{k}}/k!$.

3相关概念

术语翻译

降阶乘 • 英文 falling factorial • 德文 fallende Fakultät (f) • 法文 factorielle décroissante (f)