Acrys

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• $p$ 为一固定素数.

$A_{\text{crys}}$ 是 Jean-Marc Fontaine 引入的众多周期环中的一个, 与晶体上同调联系紧密.

1定义

定义 1.1. 对 $p$-完备环 $R$, 定义 $A_{\text{crys}}(R)$ 为 $A_{\inf }(R)$ 沿 $\ker (\theta )$ 的除幂包的 $p$-完备化, 其中 $\theta :A_{\inf }(R)\to R$ 是自然映射. 也将 $A_{\text{crys}}({\mathcal{O}}_{{\mathbb{C}}_p})$ 记作 $A_{\text{crys}}$, 其中 ${\mathbb{C}}_p$ 为 $p$ 进复数, ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{C}}_p}$ 为其整数环.

注 1.2. 由除幂包的定义, $\theta$ 延拓为自然映射 $A_{\text{crys}}(R)\to R$. 将其记作 ${ϵ}_{\text{crys}}$, 其核记作 $I_{\text{crys}}(R)$, 则 $I_{\text{crys}}(R)$ 自带除幂结构.

注 1.3. 这在 $R$ 半完美胚时勉强比较合理, 而在 $R$ 完美胚时是合理的对象.

2性质

命题 2.1. $A_{\text{crys}}(R)=A_{\text{crys}}(R/p)$.

定理 2.2 (与晶体上同调的联系). 设 $R$ 为特征 $p$ 半完美环. 则$$A_{\text{crys}}(R)=R{\Gamma }_{\text{crys}}(R/{\mathbb{Z}}_p),$$右边指的是 $R$ 在 $({\mathbb{Z}}_p,(p))$ 上的晶体上同调. 事实上, $(A_{\text{crys}}(R),I_{\text{crys}}(R))$ 是 $R$ 的除幂投射加厚中初始者.

注 2.3. 有了以上定理, 便可对一般的环 $R$, 用下降来计算晶体上同调. (具体写出来.)

3相关概念

•	晶体上同调
•	晶体表示
•	$A_{\text{inf}}$
•	$B_{\text{dR}}$