Ainf

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• $p$ 为一固定素数.

$A_{\inf }$ 是 Jean-Marc Fontaine 引入的众多周期环中的一个, 是其中信息最多者.

1定义

定义 1.1. 对环 $R$, 定义$$A_{\inf }(R)=W(R^{♭}),$$其中 $W$ 指 Witt 环, $R^{♭}$ 指 $R$ 的斜置, 即 ${\lim }_{\mathrm{Frob}}(\cdots \to R/p\to R/p)$. 也将 $A_{\inf }({\mathcal{O}}_{{\mathbb{C}}_p})$ 记作 $A_{\inf }$, 其中 ${\mathbb{C}}_p$ 为 $p$ 进复数, ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{C}}_p}$ 为其整数环.

注 1.2. 和斜置一样, 这只在 $R$ 为完美胚环时是合理的对象.

2性质

命题 2.1. 当 $R$ 为 $p$-完备时, 存在唯一映射 $\theta :A_{\inf }(R)\to R$ 使图表$$A_{\inf }(R)R{R}^{♭}R/p\theta$$交换, 下面的箭头是 $R^{♭}={\lim }_{\mathrm{Frob}}(\cdots \to R/p\to R/p)$ 投影到第 $0$ 个分量.

证明. 这是完美环 Witt 环的万有性质.

$\square$

下面的命题表明了 “$A_{\inf }$” 之名的来源: 它是万有的无穷小加厚, “$\inf$” 即无穷小.

命题 2.2. 如 $R$ 为 $p$-完备, $R/p$ 为半完美环, 则 $\theta :A_{\inf }(R)\to R$ 是投射加厚, 且是其中万有者, 即首先 $\theta$ 为满射, $A_{\inf }(R)$ 为 $\ker (\theta )$-完备, 其次对任一满射 $f:A\to R$, 如 $A$ 为 $\ker (f)$-完备, 则存在唯一映射 $g:A_{\inf }(R)\to A$ 使得 $f\circ g=\theta$.

3推广

(完美胚空间上的 ${\mathbf{A}}_{\inf }$ 层.)

4相关概念

•	完美胚环
•	棱镜上同调
•	$A_{\text{crys}}$
•	$B_{\text{dR}}$