斜置等价

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• $p$ 为一固定素数.

斜置等价是 $p$ 进几何中一类现象的统称, 指的是完美胚空间和完美胚环的拓扑性质由其纯特征对应物, 即斜置, 所决定. 起初 Jean-Marc Fontaine 等人注意到了该现象的特殊情形, 见 Fontaine–Wintenberger 定理. 后来 Peter Scholze 在其博士论文中引入完美胚空间, 陈述并证明了其一般情形.

1整完美胚环

本节讲述整完美胚环的斜置等价.

定理 1.1 (斜置等价). 设 $R=A/d$ 为完美胚环, 其中 $(A,(d))$ 为完美棱镜, $A=W(R^{♭})$, $d={\sum }_{n=0}^{\infty }[d_n]p^n$. 则斜置给出从 $R$ 上完美胚环范畴到 $R^{♭}$ 上的 $d_0$-完备完美环范畴的范畴等价. 它保持有限、有限平展, 把 $p$-完备整 $R$-代数对应到 $d_0$-完备整 $R^{♭}$-代数.

证明. 考虑反方向的函子 $S\mapsto W(S)/d$, 这里 $d$ 沿自然同态 $W(R^{♭})\to W(S)$ 视为 $W(S)$ 中元素. 注意:

•	完美胚环范畴与完美棱镜范畴等价;
•	$p$-完备完美 $\delta$-环范畴与特征 $p$ 完美环范畴等价;
•	对 $R^{♭}$ 上完美环 $S$, $W(S)$ 为 $d$-完备当且仅当 $S$ 为 $d_0$-完备;

即得这是范畴等价. 接下来只需注意 $R/p=A/(p,d)=R^{♭}/d_0$, 而有限、有限平展、完备整都可以在商环检验.

$\square$

注 1.2. 这里的 $d_0$ 就是一些文献中的 $p^{♭}$.

下面的命题是个形式上的推广.

命题 1.3. 设 $R$ 为完美胚环, $\varpi \in R$ 满足 $R$ 为 $\varpi$-完备, 且 ${\varpi }^p\mid p$. 取 ${\varpi }^{♭}\in R^{♭}$ 使其第 $0$ 个坐标是 $\varpi \mathrm{mod}p$. 则斜置给出从 $R$ 上 $\varpi$-完备完美胚环范畴到 $R^{♭}$ 上的 ${\varpi }^{♭}$-完备完美环范畴的范畴等价, 且其也保持有限、有限平展、完备整. 此外, $R$ 为 $\varpi$-无挠当且仅当 $R^{♭}$ 为 ${\varpi }^{♭}$-无挠.

命题 1.4. 完美胚环 $V$ 是赋值环当且仅当 $V^{♭}$ 是赋值环, 且此时它们值群一样. 所以命题 1.3 也给出 $R$ 上 $\varpi$-完备完美胚赋值环范畴和 $R^{♭}$ 上 ${\varpi }^{♭}$-完备完美胚赋值环范畴的等价.

(还需要讲几乎情形.)

2完美胚空间

本节讲述完美胚空间的斜置等价.

定理 2.1 (斜置等价). 对完美胚空间 $X$, 有范畴等价 ${\mathsf{Perfd}}_X\cong {\mathsf{Perfd}}_{X^{♭}}$, ${\acute{\mathsf{E}}\mathsf{t}}_X\cong {\acute{\mathsf{E}}\mathsf{t}}_{X^{♭}}$, ${\mathsf{F}\acute{\mathsf{E}}\mathsf{t}}_X\cong {\mathsf{F}\acute{\mathsf{E}}\mathsf{t}}_{X^{♭}}$, 即 $X$ 和 $X^{♭}$ 上的完美胚空间范畴、平展完美胚空间范畴、有限平展完美胚空间范畴各自等价. 特别地, $X$ 和 $X^{♭}$ 的平展景等价.

3解析空间

解析空间与钻石...

4例子

5相关概念

•	Fontaine–Wintenberger 定理
•	几乎纯性
•	Fargues–Fontaine 曲线

术语翻译

斜置等价 • 英文 tilting equivalence • 法文 equivalence basculante