Arzelà–Ascoli 定理
Arzelà–Ascoli 定理说明, 对闭区间 上的一族连续函数 而言, 以下两个条件等价:
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Arzelà–Ascoli 定理在若干著名定理的证明中都扮演关键的角色, 用来构造收敛子序列. 这些定理包括常微分方程解的存在唯一性、Montel 定理、Peter–Weyl 定理.
在 Arzelà–Ascoli 定理中, 函数的定义域可以推广到任何紧 Hausdorff 空间, 甚至任何收敛空间; 函数的到达域也可以推广到任何一致空间.
1定理和证明
定理的一种基础情形可以叙述如下.
证明. (...)
一般的情形叙述如下, 其证明也完全同理.
定理 1.2 (Arzelà–Ascoli). 设 是紧 Hausdorff 空间, 是一致空间. 对一族连续映射 而言, 以下两个条件等价:
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• | 等度连续, 并且对任意 , 集合 在 中相对紧. |
证明. (...)
2例子
(...)
参考文献
[BB02] | R. Beattie and H.-P. Butzmann (2002). Convergence Structures and Applications to Functional Analysis. Springer. |
术语翻译
Arzelà–Ascoli 定理 • 英文 Arzelà–Ascoli theorem • 德文 Satz von Arzelà–Ascoli • 法文 théorème d’Arzelà–Ascoli