Bernoulli 双扭线

Bernoulli 双扭线是如下的平面曲线:它有两个关于原点对称的焦点 $F_1,F_2$, 由平面上所有满足$$|F_{1}A|\cdot |F_{2}A|=c^2$$的点 $A$ 构成, 其中 $c=|O{F}_1|$ 为焦距的一半. 与 $x$ 轴的交点是 $(\pm a,0)$, 其中$$a=\sqrt{2}c.$$在 Descartes 坐标系中, 其方程为$$(x^2+y^2{)}^2-a^2(x^2-y^2)=0.$$因此, 它是平面上的四次代数曲线.

1性质

初等性质

•	Bernoulli 双扭线在平面反演下变成双曲线 $x^2-y^2=1/a^2$.

•	Bernoulli 双扭线的周长是$$L=\frac{2\pi }{\mathrm{agm}(1,\sqrt{2})}a,$$其中 $\mathrm{agm}$ 表示算术–几何平均.

•	Bernoulli 双扭线围成的面积是 $a^2$.

代数几何性质

•	Bernoulli 双扭线是有理代数曲线. 其亏格为 $0$, 具有 $3$ 个结点.

术语翻译

Bernoulli 双扭线 • 英文 lemniscate of Bernoulli • 德文 Lemniskate von Bernoulli (f) • 法文 lemniscate de Bernoulli (f)