代数曲线

在代数几何中, 代数曲线是指维数为 $1$ 的代数簇. 大致来说, 代数曲线就是由多项式方程定义的曲线. 例如, 平面上由二次方程定义的曲线是圆锥曲线, 由三次方程定义的是椭圆曲线, 它们都是代数曲线的例子.

在平面上, 常常考虑两类代数曲线: 可以考虑仿射平面 ${\mathbb{A}}_k^2$ 中由多项式定义的代数曲线, 它们是仿射簇, 也可以考虑射影平面 ${\mathbb{P}}_k^2$ 中由多项式定义的代数曲线, 也就是包含无穷远点的代数曲线, 它们是射影簇. 另外, 在高维的仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^n$ 或射影空间 ${\mathbb{P}}_k^n$ 中, 也可以由多项式方程组来定义代数曲线.

我们常常考虑各种不同域上的代数曲线. 例如, 在算术几何中, 常常研究有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的代数曲线是否有有理点, 因为这意味着定义该代数曲线的 Diophantus 方程是否有有理数解, 而后者是数论的重要问题.

由于代数几何–解析几何对应, 复数域 $\mathbb{C}$ 上的光滑代数曲线对应着 $1$ 维复流形, 也就是 Riemann 面; 射影代数曲线对应紧 Riemann 面. 因为所有紧 Riemann 面也都对应某条代数曲线, 所以有时将 “光滑射影复代数曲线” 和 “紧 Riemann 面” 视为同义词.

1定义

一般定义

定义 1.1 (代数曲线). 设 $k$ 是域. 则 $k$ 上的代数曲线是指 $k$ 上维数为 $1$ 的整代数簇.

平面代数曲线

定义 1.2 (平面代数曲线). 设 $k$ 是域.

•	设 $f\in k[x,y]$ 是多项式, 且不为常数. 在仿射平面 ${\mathbb{A}}_k^2\simeq \mathrm{Spec}k[x,y]$ 中, 由方程 $f=0$ 定义的闭子概形$$V_f=\mathrm{Spec}(k[x,y]/(f))\subset {\mathbb{A}}_k^2$$称为 $f$ 定义的仿射代数曲线, 它是 $k$ 上的一维仿射簇.

•	设 $f\in k[x,y,z]$ 是齐次多项式, 且不为常数. 在射影平面 ${\mathbb{P}}_k^2\simeq \mathrm{Proj}k[x,y,z]$ 中, 由方程 $f=0$ 定义的闭子概形$$V_f=\mathrm{Proj}(k[x,y,z]/(f))\subset {\mathbb{P}}_k^2$$称为 $f$ 定义的射影代数曲线, 它是 $k$ 上的一维射影簇. 若 $f$ 为 $n$ 次多项式, 则称该曲线为 $n$ 次曲线.

2例子

•	二次平面曲线就是圆锥曲线; 三次平面曲线就是椭圆曲线.

•	Fermat 曲线是射影曲线 $x^n+y^n=z^n$. Fermat 大定理说明, 当 $n\ge 3$ 时, 该曲线没有非平凡的 $\mathbb{Q}$-有理点.

3性质

4相关概念

•

Riemann 面

术语翻译

代数曲线 • 英文 algebraic curve • 德文 algebraische Kurve (f) • 法文 courbe algébrique (f) • 日文 代数曲線 (だいすうきょくせん) • 韩文 대수 곡선 (代數曲線)