β-γ 系统

$\mathbf{\beta }$-$\mathbf{\gamma }$ 系统是一种二维共形场论. 它与 $b$-$c$ 系统定义几乎完全相同, 只是它描述 Bose 场而非 Fermi 场.

1定义

定义 1.1. $\beta$-$\gamma$ 系统是一种量子场论, 它的场形如$$(\beta ,\gamma )\in {\Omega }^{1,0}(X)\oplus {\Omega }^{0,0}(X),$$其中 $X$ 是 Riemann 面. 它的作用量密度是$$\mathcal{L}:(\beta ,\gamma )\mapsto \beta \wedge \bar{\partial }\gamma .$$并且 $\beta$, $\gamma$ 均是 Bose 场.

2性质

基本性质

$\beta$-$\gamma$ 系统的经典运动方程可以求出.

命题 2.1 (运动方程). $\beta$-$\gamma$ 系统的运动方程是$$\bar{\partial }\beta =\bar{\partial }\gamma =0,$$即要求 $\beta$ 和 $\gamma$ 都是全纯形式.

此外, $\beta$-$\gamma$ 系统具有好的对称性, 使它成为二维共形场论.

命题 2.2. 如 $X$ 取为复平面 $\mathbb{C}$, 对任意实数 $\lambda$, 任意全纯映射 $z\to z^{\prime }$, 作用量密度在变换$$\begin{array}{rl}{\beta }^{\prime }(z^{\prime })& =(\frac{d{z}^{\prime }}{dz}{)}^{-\lambda }\beta (z)\\ {\gamma }^{\prime }(z^{\prime })& =(\frac{d{z}^{\prime }}{dz}{)}^{-(1-\lambda )}\gamma (z)\end{array}$$之下不变. 即此时 $\beta$, $\gamma$ 分别成为共形维数为 $\lambda$, $1-\lambda$ 的共形场.

顶点代数描述

顶点代数刻画了共形场的局部信息, $\beta$-$\gamma$ 系统中也有此一结构.

定义 2.3. 在下面的叙述中, Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 取为$$\mathfrak{g}=\underset{n\in \mathbb{Z}}{⨁}\mathbb{C}{\gamma }_n\oplus \underset{b\in \mathbb{Z}}{⨁}\mathbb{C}{\beta }_n\oplus \mathbb{C}1$$其中 Lie 括号取为$$[{\beta }_n,{\gamma }_n]={\delta }_{n,-m}1,[{\beta }_n,1]=[{\gamma }_m,1]=0,\forall n,m\in \mathbb{Z}$$记 $U(\mathfrak{g})$ 为它的泛包络代数.

令 $\mathfrak{b}$ 为 $\mathfrak{g}$ 中由 ${\beta }_n$ ($n\ge 0$), ${\gamma }_m$ ($m>0$) 和 $1$ 生成的子代数, 它有一维表示 $\mathbb{C}$, 满足在表示中 ${\beta }_n$, ${\gamma }_m$ 均为 $0$, 而 $1$ 为恒等映射.

定义 2.4. $\beta$-$\gamma$ 系统的顶点代数为四元组 $(\mathcal{V},Y,T,|0⟩)$, 其中

•	$\mathcal{V}=U(\mathfrak{g}){\otimes }_{U(\mathfrak{b})}\mathbb{C}$. 为上述 Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 的表示 (类似于 Verma 模). 且 $\mathcal{V}$ 中所有元素均为偶元素. 注意由 PBW 定理它作为线性空间同构于多项式环 $\mathbb{C}[{\beta }_{-1},\cdots ,{\beta }_{-n},\cdots ,{\gamma }_0,\cdots ,{\gamma }_{-n},\cdots ]$.
•	真空态 $|0⟩=1\otimes 1\in \mathcal{V}$.
•	记 $\beta (z)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{\beta }_n{z}^{-n-1}$, $\gamma (z)={\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{\gamma }_n{z}^{-n}$, 则态场对应为$$Y({\beta }_{-n},z)=\frac{1}{(n-1)!}{\partial }_z^{n-1}\beta (z),Y({\gamma }_{-n},z)=\frac{1}{n!}{\partial }_z^n\gamma (z)$$一般的态相应的场由顶点代数的性质, 由上述场的正规乘积描述.
•	平移算子$$T=-\sum _{n\in \mathbb{Z}}n{\gamma }_n{\beta }_{-1-n}=-\sum _{n\in Z}n{\beta }_{-1-n}{\gamma }_n$$注意它虽然不是 $U(\mathfrak{g})$ 中元素, 但形式地作用于 $\mathcal{V}$ 中元素后, 仍可以得到 $\mathcal{V}$ 中良好定义的元素.

上述顶点代数可以赋予共形顶点代数的结构,

命题 2.5. 取定整数 $\lambda$, 取

•	$\mathcal{V}$ 的分次由$$\mathrm{deg}{\beta }_n=-n-\lambda ,\mathrm{deg}{\gamma }_m=-m+\lambda n<0,m\le 0$$给出.
•	$L=(1-\lambda ){\beta }_{-1}{\gamma }_{-1}-\lambda {\gamma }_0{\beta }_{-2}$.

则上述信息赋予 $\mathcal{V}$ 以共形顶点代数的结构. 此时中心荷 $c=12{\lambda }^2-12\lambda +2$.

如果放宽 $\mathcal{V}$ 的分次必须是整数的条件, $\lambda$ 可以取为任意实数, 而仍然满足共形顶点代数的一切条件.

3共形块

(...)

4相关概念

•	$b$-$c$ 系统
•	手性 Bose 子
•	手性微分算子

术语翻译

$\beta$-$\gamma$ 系统 • 英文 $\beta$-$\gamma$ system