泛包络代数

泛包络代数是从 Lie 代数出发构造的结合代数, 其构造意图在于将 Lie 代数的表示视为某个结合代数上的模.

1定义

定义 1.1. 对域 $\mathbb{k}$ 上的 Lie 代数 $\mathfrak{g}$, 其泛包络代数 $U(\mathfrak{g})$ 为$$U(\mathfrak{g})=\frac{\mathrm{T}(\mathfrak{g})}{(x\otimes y-y\otimes x-[x,y])}$$其中, $\mathrm{T}(\mathfrak{g})$ 表示 $\mathfrak{g}$ (作为向量空间) 的张量代数, 分母为所有 $x\otimes y-y\otimes x-[x,y]$ ($x,y\in \mathfrak{g}$) 生成的双边理想.

2性质

命题 2.1. 存在范畴等价$$\mathsf{Rep}(\mathfrak{g})\simeq U(\mathfrak{g})\text{-}\mathsf{Mod}.$$即 Lie 代数的表示的范畴与相应泛包络代数上的左模范畴等价.

命题 2.2. $U(\mathfrak{g})$ 上有自然的滤链 ${\mathrm{Fil}}^{\bullet }$, 其中 ${\mathrm{Fil}}^n$ 为由元素$$x_1\otimes \cdots \otimes x_m,m\le n$$生成的向量空间. 此时有 ${\mathrm{Fil}}^m{\mathrm{Fil}}^n\subset {\mathrm{Fil}}^{m+n}$. 此滤链对应的分次环为$${\mathrm{gr}}^{\bullet }U(\mathfrak{g})\simeq {\mathrm{Sym}}^{\bullet }(\mathfrak{g}),$$后者为 $\mathfrak{g}$ (作为向量空间) 的对称代数.

我们接下来考虑 $\mathfrak{g}$ 有较好性质的情况, 此时 $U(\mathfrak{g})$ 亦有较好性质.

记号.

•	$\mathbb{k}$ 为特征 $0$ 域, $\mathfrak{g}$ 为其上半单 Lie 代数 (一般地, Kac–Moody 代数).
•	$\mathfrak{h}$ 为 $\mathfrak{g}$ 的 Cartan 子代数.
•	${\mathfrak{n}}^{+}$, ${\mathfrak{n}}^{-}$ 分别为 $\mathfrak{g}$ 的正、负幂零子代数.
•	$W$ 为 $\mathfrak{g}$ 的 Weyl 群.

命题 2.3 (Poincaré–Birkhoff–Witt).

参见: Poincaré–Birkhoff–Witt 定理

存在作为线性空间的同构$$U({\mathfrak{n}}^{-})\otimes U(\mathfrak{h})\otimes U({\mathfrak{n}}^{+})\simeq U(\mathfrak{g}),$$由$$x_1\otimes x_2\otimes x_3\to x_1{x}_2{x}_3$$给出.

命题 2.4 (Harish-Chandra).

参见: Harish-Chandra 同构

存在同构$$\mathrm{Z}(U(\mathfrak{g}))\simeq \mathrm{S}(\mathfrak{h}{)}^{W_{\bullet }}$$其中 $\mathrm{Z}(U(\mathfrak{g}))$ 表示 $U(\mathfrak{g})$ 的中心, $\mathrm{S}(\mathfrak{h}{)}^{W_{\bullet }}$ 为 $\mathfrak{h}$ 的对称代数在 $W$ 作用下的不变量. 这一同构由以下方式给出: 由命题 2.3, $$U(\mathfrak{g})\simeq U(\mathfrak{h})\oplus (U(\mathfrak{g}){\mathfrak{n}}^{+}+{\mathfrak{n}}^{-}U(\mathfrak{g})),$$映射被定义为: 先将 $\mathrm{Z}(U(\mathfrak{g}))$ 嵌入至 $U(\mathfrak{g})$, 再沿上述分解投影至 $U(\mathfrak{h})\simeq \mathrm{S}(\mathfrak{h})$.

3例子

•	$\mathfrak{g}$ 为 交换 Lie 代数时, $U(\mathfrak{g})\simeq \mathrm{S}(\mathfrak{g})$.

4相关概念

•	Lie 代数
•	$\mathcal{D}$ 模
•	范畴 $\mathcal{O}$

术语翻译

泛包络代数 • 英文 universal enveloping algebra • 德文 universelle einhüllende Algebra • 法文 algèbre enveloppante